수능 전에 있던 본고사 수학 문제입니다.  할 일이 없어서 풀어보고 있는 '발견 학습 시리즈(미래사 출판)' 의 문제가 굉장히 흥미로워서 여러분들도 한번 풀어 보라는 취지에서 올립니다.

모든 문제는 고등학교 과정에 나와있던 수학 지식들을 바탕으로 해결됩니다.







첫번째 문제

A를 평면 위의 2n개의 점의 집합이라 한다. 이들 점의 어느 3개도 동일직선 위에 있지 않다. 이들 점 중 n개를 빨간색으로 칠하고, 나머지 n개를 푸른 색으로 칠한다.

이때, 아래 사실을 증명하라

n개의 폐성분(양 끝점을 포함하는 선분)을 만들면 어느 2개도 공유점을 갖지 않고, 또 각 선분의 양끝점은 서로 다른 색을 갖도록 할 수 있다.





두번째 문제

다음과 같은 규칙으로 게임을 한다. 정이십면체의 주사위로 최고 다섯번까지 던져서,  (마지막에 나온 눈의 수)와 1000 을 곱한 값을 금액(원)으로 주기로 한다.

n번(n의 범위는 1이상 4이하)을 던져서 나온 눈을 보고 나서 n+1 번째에 던질 것인가 아닌 가를 정할 수 있다.
n번쨰 어떤 눈이 나왔을 떄가 n+1번쨰에 던지는 것이 가장 유리한가? 또 이 게임에 건 돈이 16000원이라면, 이 게임에 도전하는 것이 이득인가 손해인가?





세번쨰 문제
공간에 평면 a가 있다. 공간의 점P를 지나 평면 a에 수직인 직선이 a와 만나는 점을 P의 a위로의 정사영이라 하고, 공간도형 V의 각 점의 a 위로의 정사영 전체가 만드는 a위의 도형을 V의 a위로의 정사영이라 한다.

한 번의 길이가 1인 정사면체 V를 평면 a 위로의 정사영의 넓이를 S라 하면, V가 여러 위치로 변할 때 S 의 최대값, 최소값을 구하라.
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