아직 깊이 들어가지 않은 부분이라 사전적 의미로만 번역하는데 별 무리는 없어보여 번역해 올립니다.

왜 the writing of a self-referential statement를 writing of Godel code(numbering)으로 보는지 예를 들어보고자


원문의 24쪽 아래쪽 ~ 32쪽 중후반

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Gödel

 

In the examples we have seen of Strange Loops by Bach and Escher, there is a conflict between the finite and the infinite, and hence a strong sense of paradox. Intuition sensesthat there is something mathematical involved here. And indeed in our own century a mathematical counterpart was discovered, with the most enormous repercussions. And, just as the Bach and Escher loops appeal to very simple and ancient intuitions-a musical scale, a staircase-so this discovery, by K. Gödel, of a Strange Loop in mathematical systems has its origins in simple and ancient intuitions. In its absolutely barest form, Godel's discovery involves the translation of an ancient paradox in philosophy into mathematical terms. That paradox is the so-called Epimenides paradox, or liar paradox. Epimenides was a Cretan who made one immortal statement: "All Cretans are liars." A sharper version of the statement is simply "I am lying"; or, "This statement is false". It is that last version which I will usually mean when I speak of the Epimenides paradox. It is a statement which rudely violates the usually assumed dichotomy of statements into true and false, because if you tentatively think it is true, then it immediately backfires on you and makes you think it is false. But once you've decided it is false, a similar backfiring returns you to the idea that it must be true. Try it!

 

The Epimenides paradox is a one-step Strange Loop, like Escher's Print Gallery. But how does it have to do with mathematics? That is what Godel discovered. His idea was to use mathematical reasoning in exploring mathematical reasoning itself. This notion of making mathematics "introspective" proved to be enormously powerful, and perhaps its richest implication was the one Godel found: Godel's Incompleteness Theorem. What the Theorem states and how it is proved are two different things. We shall discuss both in quite some detail in this book. The Theorem can De likened to a pearl, and the method of proof to an oyster. The pearl is prized for its luster and simplicity; the oyster is a complex living beast whose innards give rise to this mysteriously simple gem.

 

Godel's Theorem appears as Proposition VI in his 1931 paper "On Formally Undecidable Propositions in Principia Mathematica and Related Systems I." It states:

 

To every w-consistent recursive class K of formulae there correspond recursive class-signs r, such that neither v Gen r nor Neg (v Gen r) belongs to Fig (K) (where v is the free variable of r).

 

Actually, it was in German, and perhaps you feel that it might as well be in German

anyway. So here is a paraphrase in more normal English:

 

All consistent axiomatic formulations of number theory include undecidable propositions.

 

This is the pearl.

 

In this pearl it is hard to see a Strange Loop. That is because the Strange Loop is buried in the oyster-the proof. The proof of Godel's Incompleteness Theorem hinges upon the writing of a self-referential mathematical statement, in the same way as the Epimenides paradox is a self-referential statement of language. But whereas it is very simple to talk about language in language, it is not at all easy to see how a statement about numbers can talk about itself. In fact, it took genius merely to connect the idea of self-referential statements with number theory. Once Godel had the intuition that such a statement could be created, he was over the major hurdle. The actual creation of the statement was the working out of this one beautiful spark of intuition.

 

We shall examine the Godel construction quite carefully in Chapters to come, but so that you are not left completely in the dark, I will sketch here, in a few strokes, the core of the idea, hoping that what you see will trigger ideas in your mind. First of all, the difficulty should be made absolutely clear. Mathematical statements-let us concentrate on numbertheoretical ones-are about properties of whole numbers. Whole numbers are not statements, nor are their properties. A statement of number theory is not about a. statement of number theory; it just is a statement of number theory. This is the problem; but Godel realized that there was more here than meets the eye.

Godel had the insight that a statement of number theory could be about a statement of number theory (possibly even itself), if only numbers could somehow stand for statements. The idea of a code, in other words, is at the heart of his construction. In the Godel Code, usually called "Godel-numbering", numbers are made to stand for symbols and sequences of symbols. That way, each statement of number theory, being a sequence of specialized symbols, acquires a Godel number, something like a telephone number or a license plate, by which it can be referred to. And this coding trick enables statements of number theory to be understood on two different levels: as statements of number theory, and also as statements about statements of number theory.

 

Once Godel had invented this coding scheme, he had to work out in detail a way of transporting the Epimenides paradox into a numbertheoretical formalism. His final transplant of Epimenides did not say, "This statement of number theory is false", but rather, "This statement of number theory does not have any proof". A great deal of confusion can be caused by this, because people generally understand the notion of "proof" rather vaguely. In fact, Godel's work was just part of a long attempt by mathematicians to explicate for themselves what proofs are. The important thing to keep in mind is that proofs are demonstrations within fixed systems of propositions. In the case of Godel's work, the fixed system of numbertheoretical reasoning to which the word "proof" refers is that of Principia Mathematica (P.M.), a giant opus by Bertrand Russell and Alfred North Whitehead, published between 1910 and 1913. Therefore, the Godel sentence G should more properly be written in English as:

 

This statement of number theory does not have any proof in the system of Principia Mathematica.

 

Incidentally, this Godel sentence G is not Godel's Theorem-no more than the Epimenides sentence is the observation that "The Epimenides sentence is a paradox." We can now state what the effect of discovering G is. Whereas the Epimenides statement creates a paradox since it is neither true nor false, the Godel sentence G is unprovable (inside P.M.) but true. The grand conclusion? That the system of Principia Mathematica is "incomplete"-there are true statements of number theory which its methods of proof are too weak to demonstrate.

 

But if Principia Mathematica was the first victim of this stroke, it was certainly not the last! The phrase "and Related Systems" in the title of Godel's article is a telling one: for if Godel's result had merely pointed out a defect in the work of Russell and Whitehead, then others could have been inspired to improve upon P.M. and to outwit Godel's Theorem. But this was not possible: Godel's proof pertained to any axiomatic system which purported to achieve the aims which Whitehead and Russell had set for themselves. And for each different system, one basic method did the trick. In short, Godel showed that provability is a weaker notion than truth, no matter what axiomatic system is involved. Therefore Godel's Theorem had an electrifying effect upon logicians, mathematicians, and philosophers interested in the foundations of mathematics, for it showed that no fixed system, no matter how complicated, could represent the complexity of the whole numbers: 0, 1, 2, 3, ... Modern readers may not be as nonplussed by this as readers of 1931 were, since in the interim our culture has absorbed Godel's Theorem, along with the conceptual revolutions of relativity and quantum mechanics, and their philosophically disorienting messages have reached the public, even if cushioned by several layers of translation (and usually obfuscation). There is a general mood of expectation, these days, of "limitative" results-but back in 1931, this came as a bolt from the blue.

 

Mathematical Logic: A Synopsis

 

A proper appreciation of Godel's Theorem requires a setting of context. Therefore, I will now attempt to summarize in a short space the history of mathematical logic prior to 1931-an impossible task. (See DeLong, Kneebone, or Nagel and Newman, for good presentations of history.) It all began with the attempts to mechanize the thought processes of reasoning. Now our ability to reason has often been claimed to be what distinguishes us from other species; so it seems somewhat paradoxical, on first thought, to mechanize that which is most human. Yet even the ancient Greeks knew that reasoning is a patterned process, and is at least partially governed by statable laws. Aristotle codified syllogisms, and Euclid codified geometry; but thereafter, many centuries had to pass before progress in the study of axiomatic reasoning would take place again.

 

One of the significant discoveries of nineteenth-century mathematics was that there are different, and equally valid, geometries-where by "a geometry" is meant a theory of properties of abstract points and lines. It had long been assumed that geometry was what Euclid had codified, and that, although there might be small flaws in Euclid's presentation, they were unimportant and any real progress in geometry would be achieved by extending Euclid. This idea was shattered by the roughly simultaneous discovery of non-Euclidean geometry by several people-a discovery that shocked the mathematics community, because it deeply challenged the idea that mathematics studies the real world. How could there be many different kinds of "points" and "lines" in one single reality? Today, the solution to the dilemma may be apparent, even to some nonmathematicians-but at the time, the dilemma created havoc in mathematical circles. Later in the nineteenth century, the English logicians George Boole and Augustus De Morgan went considerably further than Aristotle in codifying strictly deductive reasoning patterns. Boole even called his book "The Laws of Thought"-surely an exaggeration, but it was an important contribution. Lewis Carroll was fascinated by these mechanized reasoning methods, and invented many puzzles which could be solved with them. Gottlob Frege in Jena and Giuseppe Peano in Turin worked on combining formal reasoning with the study of sets and numbers. David Hilbert in Gottingen worked on stricter formalizations of geometry than Euclid's. All of these efforts were directed towards clarifying what one means by "proof".

 

In the meantime, interesting developments were taking place in classical mathematics. A theory of different types of infinities, known as the theory of sets, was developed by Georg Cantor in the 1880's. The theory was powerful and beautiful, but intuition-defying.

 

Before long, a variety of set-theoretical paradoxes had been unearthed. The situation was very disturbing, because just as mathematics seemed to be recovering from one set of paradoxes-those related to the theory of limits, in the calculusalong came a whole new set, which looked worse!

 

The most famous is Russell's paradox. Most sets, it would seem, are not members of themselves-for example, the set of walruses is not a walrus, the set containing only Joan of Arc is not Joan of Arc (a set is not a person)-and so on. In this respect, most sets are rather "run-of-the-mill". However, some "self-swallowing" sets do contain themselves as members, such as the set of all sets, or the set of all things except Joan of Arc, and so on.

 

Clearly, every set is either run-of-the-mill or self-swallowing, and no set can be both. Now nothing prevents us from inventing R: the set of all run-o,-the-mill sets. At first, R might seem a rather run-of-the-mill invention-but that opinion must be revised when you ask yourself, "Is R itself "a run-of-the-mill set or a self-swallowing set?" You will find that the answer is: "R is neither run-of-the-mill nor self-swallowing, for either choice leads to paradox." Try it!

 

But if R is neither run-of-the-mill nor self-swallowing, then what is it? At the very least, pathological. But no one was satisfied with evasive answers of that sort. And so people began to dig more deeply into the foundations of set theory. The crucial questions seemed to be: "What is wrong with our intuitive concept of 'set'? Can we make a rigorous theory of sets which corresponds closely with our intuitions, but which skirts the paradoxes?" Here, as in number theory and geometry, the problem is in trying to line up intuition with formalized, or axiomatized, reasoning systems.

 

A startling variant of Russell's paradox, called "Grelling's paradox", can be made using adjectives instead of sets. Divide the adjectives in English into two categories: those which are self-descriptive, such as "pentasyllabic", "awkwardnessful", and "recherche", and those which are not, such as "edible", "incomplete", and "bisyllabic". Now if we admit "non-selfdescriptive" as an adjective, to which class does it belong? If it seems questionable to include hyphenated words, we can use two terms invented specially for this paradox: autological (= "selfdescriptive"), and heterological (= "non-self-descriptive"). The question then becomes:

"Is 'heterological' heterological?" Try it!

 

There seems to he one common culprit in these paradoxes, namely self-reference, or "Strange Loopiness". So if the goal is to ban all paradoxes, why not try banning selfreference and anything that allows it to arise? This is not so easy as it might seem, because it can be hard to figure out just where self-reference is occurring. It may be spread out over a whole Strange Loop with several steps, as in this "expanded" version of Epimenides, reminiscent of Drawing Hands:

 

The following sentence is false.

The preceding sentence is true.

 

Taken together, these sentences have the same effect as the original Epimenides paradox: yet separately, they are harmless and even potentially useful sentences. The "blame" for this Strange Loop can't he pinned on either sentence-only on the way they "point" at each other. In the same way, each local region of Ascending and Descending is quite legitimate; it is only the way they are globally put together that creates an impossibility.

Since there are indirect as well as direct ways of achieving self-reference, one must figure out how to ban both types at once-if one sees selfreference as the root of all evil. Banishing Strange Loops Russell and Whitehead did subscribe to this view, and accordingly, Principia Mathematica was a mammoth exercise in exorcising Strange Loops from logic, set theory, and number theory. The idea of their system was basically this. A set of the lowest "type" could contain only "objects" as membersnot sets. A set of the next type up could only contain objects, or sets of the lowest type. In general, a set of a given type could only contain sets of lower type, or objects. Every set would belong to a specific type. Clearly, no set could contain itself because it would have to belong to a type higher than its own type. Only "run-of'-the-mill" sets exist in such a system; furthermore, old R the set of all run-of-the-mill sets-no longer is considered a set at all, because it does not belong to any finite type. To all appearances, then, this theory of types, which we might also call the "theory of the abolition of Strange Loops", successfully rids set theory of its paradoxes, but only at the cost of introducing an artificial-seeming hierarchy, and of disallowing the formation of certain kinds of sets-such as the set of all run-of-the-mill sets. Intuitively, this is not the way we imagine sets.

 

The theory of types handled Russell's paradox, but it did nothing about the Epimenides paradox or Grelling's paradox. For people whose interest went no further than set theory, this was quite adequate-but for people interested in the elimination of paradoxes generally, some similar "hierarchization" seemed necessary, to forbid looping back inside language. At the bottom of such a hierarchy would be an object language. Here, reference could be made only to a specific domainnot to aspects of the object language itself (such as its grammatical rules, or specific sentences in it). For that purpose there would be a metalanguage. This experience of two linguistic levels is familiar to all learners of foreign languages. Then there would be a metametalanguage for discussing the metalanguage, and so on. It would be required that every sentence should belong to some precise level of the hierarchy. Therefore, if one could find no level in which a given utterance fit, then the utterance would be deemed meaningless, and forgotten.

 

An analysis can be attempted on the two-step Epimenides loop given above. The first sentence, since it speaks of the second, must be on a higher level than the second. But by the same token, the second sentence must be on a higher level than the first. Since this is impossible, the two sentences are "meaningless". More precisely, such sentences simply cannot be formulated at all in a system based on a strict hierarchy of languages. This prevents all versions of the Epimenides paradox as well as Grelling's paradox. (To what language level could "heterological" belong?)

 

Now in set theory, which deals with abstractions that we don't use all the time, a stratification like the theory of types seems acceptable, even if a little strange-but when it comes to language, an all-pervading part of life, such stratification appears absurd. We don't think of ourselves as jumping up and down a hierarchy of languages when we speak about various things. A rather matter-of-fact sentence such as, "In this book, I criticize the theory of types" would be doubly forbidden in the system we are discussing. Firstly, it mentions "this book", which should only be mentionable in a metabook"-and secondly, it mentions me-a person whom I should not be allowed to speak of at all! This example points out how silly the theory of types seems, when you import it into a familiar context. The remedy it adopts for paradoxes-total banishment of self-reference in any form-is a real case of overkill, branding many perfectly good constructions as meaningless. The adjective "meaningless", by the way, would have to apply to all discussions of the theory of linguistic types (such as that of this very paragraph) for they clearly could not occur on any of the levels-neither object language, nor metalanguage, nor metametalanguage, etc. So the very act of discussing the theory

would be the most blatant possible violation of it!

 

Now one could defend such theories by saying that they were only intended to deal with formal languages-not with ordinary, informal language. This may be so, but then it shows that such theories are extremely academic and have little to say about paradoxes except when they crop up in special tailor-made systems. Besides, the drive to eliminate paradoxes at any cost, especially when it requires the creation of highly artificial formalisms, puts too much stress on bland consistency, and too little on the quirky and bizarre, which make life and mathematics interesting. It is of course important to try to maintain consistency, but when this effort forces you into a stupendously ugly theory, you know something is wrong. These types of issues in the foundations of mathematics were responsible for the high interest in codifying human reasoning methods which was present in the early part of this century. Mathematicians and philosophers had begun to have serious doubts about whether even the most concrete of theories, such as the study of whole numbers (number theory), were built on solid foundations. If paradoxes could pop up so easily in set theory-a theory whose basic concept, that of a set, is surely very intuitively appealing then might they not also exist in other branches of mathematics? Another related worry was that the paradoxes of logic, such as the Epimenides paradox, might turn out to be internal to mathematics, and thereby cast in doubt all of mathematics. This was especially worrisome to those-and there were a good number-who firmly believed that mathematics is simply a branch of logic (or conversely, that logic is simply a branch of mathematics).

 

In fact, this very question-"Are mathematics and logic distinct, or separate%"-was the source of much controversy. This study of mathematics itself became known as metamathematics-or occasionally, metalogic, since mathematics and logic are so intertwined. The most urgent priority of metamathematicians was to determine the true nature of mathematical reasoning. What is a legal method of procedure, and what is an illegal one? Since mathematical reasoning had always been done in "natural language" (e.g., French or Latin or some language for normal communication), there was always a lot of possible ambiguity. Words had different meanings to different people, conjured up different images, and so forth. It seemed reasonable and even important to establish a single uniform notation in which all mathematical work could be done, and with the aid of which any two mathematicians could resolve disputes over whether a suggested proof was valid or not. This would require a complete codification of the universally acceptable modes of human reasoning, at least as far as they applied to mathematics.

 

Consistency, Completeness, Hilbert's Program

 

This was the goal of Principia Mathematica, which purported to derive all of mathematics from logic, and, to be sure, without contradictions! It was widely admired, but no one was sure if (1) all of mathematics really was contained in the methods delineated by Russell and Whitehead, or (2) the methods given were even self-consistent. Was it absolutely clear that contradictory results could never be derived, by any mathematicians whatsoever, following the methods of Russell and Whitehead?

This question particularly bothered the distinguished German mathematician (and metamathematician) David Hilbert, who set before the world community of mathematicians (and metamathematicians) this challenge: to demonstrate rigorously-perhaps following the very methods outlined by Russell and Whitehead-that the system defined in Principia Mathematica was both consistent (contradiction-free), and complete (i.e., that every true statement of, number theory could be derived within the framework drawn up in P.M.). This was a tall order, and one could criticize it on the grounds that it was somewhat circular: how can you justify your methods of reasoning on the basis of those same methods of reasoning? It is like lifting yourself up by your own bootstraps. (We just don't seem to be able to get away from these Strange Loops!)

 

Hilbert was fully aware of this dilemma, of course, and therefore expressed the hope that a demonstration of consistency or completeness could be found which depended only on "finitistic" modes of reasoning. "these were a small set of reasoning methods usually accepted by mathematicians. In this way, Hilbert hoped that mathematicians could partially lift themselves by their own bootstraps: the sum total of mathematical methods might be proved sound, by invoking only a smaller set of methods. This goal may sound rather esoteric, but it occupied the minds of many of the greatest mathematicians in the world during the first thirty years of this century.

 

In the thirty-first year, however, Godel published his paper, which in some ways utterly demolished Hilbert's program. This paper revealed not only that there were irreparable "holes" in the axiomatic system proposed by Russell and Whitehead, but more generally, that no axiomatic system whatsoever could produce all number-theoretical truths, unless it were an inconsistent system! And finally, the hope of proving the consistency of a system such as that presented in P.M. was shown to be vain: if such a proof could be found using only methods inside P.M., then-and this is one of the most mystifying consequences of Godel's work-P.M. itself would be inconsistent! The final irony of it all is that the proof of Gi del's Incompleteness Theorem involved importing the Epimenides paradox right into the heart of Principia Mathematica, a bastion supposedly invulnerable to the attacks of Strange Loops! Although Godel's Strange Loop did not destroy Principia Mathematica, it made it far less interesting to mathematicians, for it showed that Russell and Whitehead's original aims were illusory.


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괴델

 

지금껏 보아온 바흐와 에셔의 이상한 고리들을 보면 유한과 무한 사이에 충돌이 있기 때문에 우리는 강렬한 역설을 감지하게 된다. 여기 무언가 수학의 영역이 개입되어 있구나 하고 직감으로 느끼게 된다. 실제로 우리가 사는 세기에서 수학 분야의 대응체가 발견되어 엄청난 반향을 불러일으켰다. 바흐와 에셔의 고리가 무척 단순한 태고적 직감들-음계 그리고 계단-에 호소하듯이 괴델도 단순한 태고적 직감들에서 출발하여 수학 체계들 안에서 이상한 고리를 찾아낸 것이다. 완전한 날 것 그대로 보자면 괴델의 발견에는 고대 철학 속의 역설을 수학 용어로 옮기는 일이 포함되어 있다. 이 역설은 이른바 에피메니데스의 역설, 거짓말쟁이의 역설이다. 에피메니데스는 크레타 사람인데 두고두고 회자될 말을 남겼다: "크레타 사람들은 모두 거짓말쟁이다." 이 말을 다듬으면 쉽게 말해 "나는 거짓말을 하고 있다" 아니면 "이 말은 거짓이다"이다. 내가 에피메니데스 역설이라고 할 때는 대개 이 마지막의 의미이다. 이 역설은 보통 명제를 참 아니면 거짓으로 치는 이분법을 거칠게 위배하는 명제이다. 여러분이 그명제가 당분간 사실이라고 생각하고 나면 곧바로 그 명제가 되받아치는 통에 그게 거짓이라고 생각하게 된다. 하지만 거짓이라고 판정하고 나면 비슷한 역공이 들어와 그 명제가 사실이 틀림없다는 생각에 이르게 된다. 한번 해 보시라! 에피메니데스의 역설은 에셔의 Print Gallery처럼 한 단계로 이루어진 이상한 고리이다. 그런데 이게 왜 수학과 연관을 맺어야 할까? 바로 이게 괴델이 찾아낸 것이다. 괴델의 착상은 수학 추론을 이용하여 수학 추론 자체를 탐구한다는 것이었다. 수학의 내면을 들여다본다는 이 발상은 엄청나게 강력한 힘을 발휘하는 것으로 밝혀졌고 아마 그 가장 풍부한 함의는 괴델이 발견한 것일 바로 이것일 게다: 괴델의 불완전성 정리. 이 정리가 무얼 말하고 있는가와 그 내용을 어떻게 증명할 것인가는 별개의 사안이다. 우리는 이 책에서 이 두 사안을 얼마간 꽤 자세히 논의할 것이다. 불완전성 정리는 진주에, 그리고 그 증명 방법은 굴에 비유할 수 있다. 진주는 광채와 단순미 때문에 귀한 대접을 받는다. 굴은 내장에서 이 묘할만치 단순한 보석을 탄생시키며, 복잡하고 괴상한 생물이다.

 

괴델의 정리는 1931년 논문, "수학 원리와 그 연관 체계들에서 형식상 결정할 수 없는 명제들에 관하여I-On Formally Undecidable Propositions in Principia Mathematica and Related Systems I."에서 명제 VI로 나온다. 그 내용은 이러하다:

 

To every w-consistent recursive class K of formulae there correspond recursive class-signs r, such that neither v Gen r nor Neg (v Gen r) belongs to Fig (K) (where v is the free variable of r).

 

사실 독일어로 쓰여진 것이라서 아마 여러분은 어쨌든 독일어로 되어 있는게 낫겠다.라고 느낌을 받을 게다. 그래서 좀 평이한 영어로 바꾸어 쓰면 다음과 같다:

 

정수론에 속한 모든 정합 공리 공식에는 (참과 거짓을) 논증할 수 없는 명제들이 있다.

 

이게 진주이다.

 

이 진주에서 이상한 고리를 찾아내기란 쉬운 일이 아니다. 이상한 고리는 굴, 그러니까 증명 속에 묻혀 있는 탓이다. 고델의 불완전성 정리 증명은, 에피메니데스의 역설이 언어를 자기 지시 방식으로 서술한 것과 마찬가지로, 자기 지시 방식으로 수학명제를 서술하는데 기대고 있다. 하지만 언어를 써서 언어를 논하는 건 무척 쉬운 일인데 비해 수론 명제를 써서 수론 명제 자체를 논하기란 결코 쉬운 일이 아니다. 사실 자기 지시 방식 명제의 개념을 정수론과 연계시키려면 비범한 재능이 필요했다. 해당 명제를 끌어낼 수있다는 직감을 발휘한 순간 괴델은 어지간한 장벽은 넘어선 것이다. 실제 그 명제(진술)는 단 하나 불꽃처럼 피어오른 직관에 매달린데서 나온 것이었다.

 

뒤에 나오는 장에서 괴델 구성체를 꽤 자세히 살펴보겠지만 그러려면 여러분이 온통 어둠 속에 갇혀 있어선 안 될 일이니 여기서 몇 차례 붓을 놀려 괴델이 한 착상의 고갱이를 그려보도록 하자. 보게 될 밑그림이 여러분의 머리 속에 어떤 심상들을(아니면 바흐-에셔-괴델로 이어지는 연결고리에 맞추어 악상들 혹은 착상들/느낌들을) 불러일으켜 주길 바라며. 무엇보다 시급한 것은 난관이 무언지 남김없이 밝히는 일이다. 수학 명제-정수론 명제에 초점을 맞추기로 하자-는 완전수의 속성을 다룬다. 완전수는 명제가 아니며 완전수의 속성도 아니다. 정수론 명제는 정수론을 다루는 명제가 아니다. 그저 정수론 안에 속하는 명제이다. 이게 골치거리이다. 하지만 괴델은 거기에 겉으로 보이는 것 말고 다른 게 있음을 깨달았다.

 

괴델은 정수를 써서 어떻게든 명제를 서술할 수 있다면 정수론 명제는정수론에 속하는 명제(어쩌면 정수론 자체까지도)를 논하는 명제가 될 수 있다는 점을 간파하였다. 다시 말해 기호(code)를 쓰자는 착상이 괴델의 정리 구성(해석, construction)에서 핵을 이루고 있는 것이다. 보통 "괴델수 붙이기(Godel numbering)로 불리는 괴델 기호(Godel Code)에서 수는 기호들 그리고 기호들의 배열순서를 가리키게 되어 있다. 이렇게 하여 한정(specialized) 기호의 연속체(배열체, sequence)인 정수론상의 각 명제는 전화번호나 자동차 번호판과 비슷한 괴델수를 확보하게 되고 그 괴델수가 각 명제를 지칭하게 된다. 이 기호화 수법 덕에 우리는 정수론상의 명제들을 두 가지 다른 차원에서 이해할 수 있게 된다: 정수론상의 명제로서 그리고 또한 정수론상의 명제를 논하는 명제로서.

 

이 기호화 도식(혹은 機構 , scheme)을 창안하고 나서 괴델은 메피메니데스의 역설을 정수론 형식(formalism)으로 옮기는 방법을 찾아 세밀히 파고들어야 했다. 괴델이 궁극적으로찾아낸 에피메니데스의 역설 이식 구문은 "이 정수론 명제는 거짓이다"라기보다는 "이정수론 명제는 증명할 길이 없다"였다. 이 명제(구문)를 두고서 상당한 혼란이 일 수 있다. 대개 사람들이 "증명"이라는 개념을 좀 막연하게 이해하고 있는 탓이다. 사실 괴델의 작업은 수학자들이 증명이란 무엇인가를 그들 스스로 해명하려는 오랜 도전의 일부일 뿐이었다. 염두에 둘 중요한 점은 증명이란 명제들로 이루어진 확립된 시스템들(fixed systems-fixed가 무엇을 가리키는지 파악하기 어려움) 안에서의 증명이라는 점이다. 괴델의 작업을 보자면 "증명"이 가리키는 정수론상 추론이라는 확립 시스템은 버트란트 러셀과 알프레드 노스 화이트헤드가 1910년에서 1913년에 걸쳐 발표한 거대한 저작인 수학 원리-Pricipia Mathematica(P.M.)상의 정수론적 추론이다. 따라서 괴델의 명제(sentence) G를 영어로 더 올바르게 옮기자면 다음과 같다:

 

이 정수론 명제는 수학 원리 체계 안에서 증명할 방법이 없다.

 

덧붙이자면 이 괴델 명제 G는 괴델의 정리가 아니다. 에피메니데스의 명제 자체가 "에피메니데스 의 명제는 역설"이라는 말이 아니듯이. 이제 G를 발견한데서 오는 결과값이 무엇인지 논할 수 있다. 에피메니데스의 명제는 참도 거짓도 아니라서 역설을 낳는 반면 괴델의 명제 G(P.M. 내에서) 증명할 길이 없지만 참이다. 위대한 결론? 수학 원리 체계는 "불완전하다"- 정수론 명제에는 PM의 증명방법이 부실한 나머지 증명할 길은 없지만 그 값이 참인 명제들이 있다.

 

하지만 수학 원리가 이 일격의 첫 희생양이었을지는몰라도 마지막 희생양은 분명 아니었다! 괴델의 논문 제목에 든 "그리고 관련 체계들"이라는 문구는 함축적이다: 괴델이 내놓은 결과가 러셀과 화이트헤드의 저작에 담긴 결함을 지적하는데 그쳤다면 다른 이들이 나서 P.M을 개선하여 괴델의 정리를 뛰어넘겠다는 마음을 품었을 수도 있기 때문이다.

 

하지만 그런 일은 벌어질래야 벌어질 수 없었다. 괴델의 증명은 화이드헤드와 러셀이 스스로 설정해 놓았던 목표를 이루려는 취지를 담고 있는 어느 공리 체계와도 부합하였다. 그리고 상이한 공리 체계마다 한 가지 기본 방법이 제 몫을 해냈다. 간단히 말하자면 괴델은 어느 공리 체계에서든 증명가능성(provability)은 참보다 약한(불충분한, 설득력이 떨어지는) 개념임을 입증하였다.

 

따라서 괴델의 정리는 수학의 토대에 관심을 보인 논리학자, 수학자 그리고 철학자들에게 전기 감전과도 같은 충격을 안겼다. 그 어떤 시스템이 아무리 복잡하다 해도 완전수들의 복잡성을 서술해낼 수 없음을 입증했기 때문이다. 0, 1, 2, 3, 현대 독자들은 이 사실을 접하고 1931년의 독자들처럼 당혹해하지는 않을 수도 있다. 그 사이 우리 문화는 또한 상대성 및 양자 역학이라는 개념 혁명과 더불어 괴델의 정리를 흡수한데다 몇 차례 번역(그리고 대개는 모호함(anti-aliaisng으로 봐야할 듯))을 거친 탓에 그 충격이 완화되긴 했더라도 그들이 던진, 철학의 길에서 갈피를 못잡게 하는 전갈이, 대중에게 (이미) 도착한 상태이기 때문이다. 요즈음에는 그 결과가 낳는 파장이 "제한적"일 것으로 기대하는 분위기가 지배적이지만 1931년대로 되돌아가보면 괴델의 정리는 사람들에게 청천벽력으로 다가왔다.

 

수학 논리: 줄거리

 

괴델의 정리를 제대로 이해하려면 배경을 잡아내야만 한다. 따라서 나는 이제 조금 지면을 써서 아쉬운 대로 수학 논리의 역사를 요약해볼 참이다. (수학 논리의 역사를 잘 표현한 저서로는 DeLong, Kneebone 또는 NagelNewman의 책이 있다.) 이 모든 것은 추론의 사고 과정을 기계화(자동화?.)하려는 시도에서 출발하였다. 이제 우리는 인간의 추론 능력 덕에 우리가 다른 생물종과 구분된다고들 이야기하고 있다. 따라서 언뜻 생각하기에 가장 인간적인 속성을 기계화하는 일은 조금 역설에 가깝게 들린다. 하지만 고대 그리스인들도 추론이 정형화된 과정이며 적어도 부분적으로는 부호로 처리할 수 있는.(statable, 표현할 수 있는) 법칙의 지배를 받는다는 점을 알고 있었다. 아리스토텔레스는 연역추론 방법을, 유클리드는 기하학을 체계화하였다. 하지만 그 이후로 수 세기가 흘러서야 공리 추론 연구에서 다시금 진전이 이루어지게 되었다.

 

19세기 수학에서 중요한 발견 하나는 상이하지만, 똑같이 타당한 기하학들이 존재한다는 것이었다-여기서 "기하학"은 추상적인 점과 선의 속성을 다루는 이론을 뜻한다. 오랫동안 기하학 하면 유클리드가 체계화 것이며, 유클리드가 제시한 내용에 사소한 결함이 있을 수는 있지만 그게 중요한 점은 아니며 유클리드 기하학을 확장시켜야 실제로 기하학에서 어떤 식으로든 발전이 있을 것으로 받아들였다. 몇 사람이 비유클리드 기하학을 얼추 비슷한 시간대에 발견하면서 이 생각은 흔들렸다. 수학이 현실계를 연구한다는 관념에 뿌리부터 도전한 탓에 수학계에 충격을 던진 발견이었다. 한 개의 실체에 어떻게 해서 여러 가지 종류의 많은 "점들""선들"이 있을 수 있는가? 지금에 와서 이 난관의 해법은 일부 비수학자들에게조차 분명한 것일 수 있지만 그 당시 이 난관은 수학계에 대혼란을 낳았다.

 

19세기 나중에 들어 영국 논리학자 조지 불과 오거스터스 드 모간은 연역 추론 패턴을 엄격하게 체계화하는 면에서 아리스토텔레스보다 상당히 앞서 있었다. 불은 자신의 저서를 "사고의 법칙들"이라고 부르기까지 했다 과장인 것은 맞지만 그 책은 중요한 기여를 하였다. 루이스 캐롤은 이들 기계화(자동화) 추론 방법에 마음을 빼았겨 그 추론 방법들을 써서 풀 수 있는 수수께기를 많이 내놓았다. JenaGottlob Frege와 튜링의 Giuseppe Peano는 형식 추론을 집합 및 수 연구에 접목하는 일에 나섰다. 괴팅겐 대학?의 데이비드 힐버트는 유클리드 방식보다 엄격하게 기하학을 형식화하는 일을 벌였다. 이들 노력은 모두 "증명"이 무엇을 뜻하는지 명백히 밝힌다는 과녁을 향하고 있었다.

 

그 사이 고전 수학에서 흥미로운 발전이 이루어지고 있었다.

 

게오르그 칸토어가 1880년대에 집합론으로 알려진, 다른 유형의 무한들을 다룬 이론을 개발하였다. 이 이론은 강력하고 아름다웠지만 직관과는 배치되었다.

 

머지 않아 다양한 집합론 역설들이 모습을 드러내었다. 곤혹스러운 상황이었다. 수학자들이 역설 모음, 즉 미적분에서 극한 이론과 연관된 역설 모음에서 겨우 벗어나는가 싶었는데 더 골치아픈 역설들이 한 무더기 나타났으니까. 가장 유명한 게 러셀의 역설이다. 대다수 집합은 그들 자신의 원소가 아닌 걸로 보인다 예를 들어 바다코끼리 집합은 바다코끼리가 아니고 잔다르크만을 포함한 집합은 잔다르크가 아니다(집합은 사람이 아니다) 등등. 이 점에서 대다수 집합은 "자신을 원소로 삼지 않는(run-of-the-mill)" 집합에 가깝다. 하지만 모든 집합들의 집합, 또는 잔다르크를 제외한 모든 것들의 집합 등등, 일부 "자신을 삼키는(자신을 원소로 포함하는)" 집합은 그들 자신을 실제로 원소로 삼는다.

 

분명한 점은 모든 집합은 자신을 원소로 포함하지 않거나 아니면 자신을 원소로 포함하는 집합이며 동시에 양쪽에 속할 수 없다는 점이다.

 

이제 아무 것도 R을 만들어내는 걸 막을 수 없다: 자신을 원소로 포함하지 않는 집합들의 집합. 언뜻 보기에 R은 자신을 원소로 포함하지 않는 집합 같아 보이지만 다음과 같이 자문해보면 그 의견을 수정할 수밖에 없다: R 자체는 "자신을 원소로 포함하지 않는 집합인가 아니면 스스로를 원소로 삼는 집합인가?" 답은 다음과 같다는 걸 알게 될 것이다: "자신을 원소로 포함하는 집합도 스스로를 원소로 삼는 집합도 아니다. 어느 쪽을 택하든 모순이기 때문이다". 한번 해 보시라! 히자만 R이 자신을 원소로 삼지 않는 집합도 스스로를 원소로 삼는 집합도 아니라면 R은 대체 무엇인가? 아무리 생각해봐야 받아들이기 힘든 것일 뿐이다. 하지만 그런 에두른 답변에 만족하는 이는 아무도 없었다. 그래서 사람들은 집합 이론의 토대를 더 깊이 파고들었다. 결정적인, 질문은 다음과 같은 것들로 보였다: "우리가 직관으로 바라보는 집합의 개념에서 무엇이 잘못된 것일까?" 우리 직관과 밀접하게 대응하지만 역서들을 회피하는 엄격한 집합 이론을 만들어낼 수 있을까?" 정수론 및 기하학과 마찬가지로 여기서 문제는 형식화 또는 공리화한 추론 체계에 직관을 맞추려는데 있다.

 

집합들 대신에 형용사들을 써서 러셀의 역설 중 놀라운 변형이자 "그렐링의 역설"로 불리는 역설을 만들어낼 수 있다. 영어 형용사들을 두 부류로 분류한다: "pentasyllabic", "awkwardnessful" 그리고 "recherche" 등 자신을 가리키는 형용사, 그리고 "edible", "incomplete", "bisyllabic" 등 그렇지 않은 형용사들. 이제 "자신을 가리키지 않는, non-selfdescriptive"을 형용사라고 인정한다면 이 형용사는 어느 부류에 들까? 하이픈으로연결된 낱말들을 포함시키는 게 문제가 있다면 이 역설에 쓰려고 특별히 만든 2단어 어휘를 쓸 수 있다: Autological="자기 지시적인"), 그리고 heterological("=자기 지시적이지 않은"). 이제 문제는 이렇게 바뀐다:

 

"자기 지시적이지 않은 것heterological은 자기지시적이지 않은가heterological한가?" 한번 해 보시라! 이들 역설에는 공히 죄수 한 명이 있는 걸로 보인다. 다시 말해 자기 지시, 또는 "이상한 루프 모양을 하고 있음". 역설을 모두 몰아내는 게 목표라면 왜 자기 지시며 여타 자시 지시를 불러오는 것들을 몰아내려 하지 않는가? 생각보다 쉬운 문제는 아니다. 대체 어디서 자기 지시가 일어나는지 알아내는 게 어려울 수 있으니까. 그림 그리는 손들을 떠올리게 하는, 이 에피메니데스의 역설 "확장"판에서처럼 그 발생지점은 여러 단계로 이루어진 이상한 루프 하나 전체에 퍼져 있을 수도 있다:

 

다음 문장은 거짓이다.

 

앞에 나오는 문장은 참이다.

 

둘을 합쳐보면 두 문장은 원래의 에피메니데스 역설과 같은 결과를 보인다:

 

하지만 떼어놓고 보면 무해하며 유익할 수도 있는 문장들이다. 어느 한 문장에 대고 이 이상한 고리를 겨냥한 "비난"을 못박을 수 있는 게 아니다. 양자가 서로를 가리키는 방식에만 비난의 못을 박을 수 있다. 마찬가지로 오르내리는 계단에서 각 부분을 떼어놓고 보면 상당히 규칙에 합당하다. 불가능은 이들이 전체로 합쳐지는 방식에서만 탄생한다.

 

자기 지시를 형성하는 방식에는 직접법 뿐 아니라 간접법도 있기 때문에 자기 지시를 만악의 근원으로 본다면 두 형태의 방식 모두 금지해야 한다.

 

이상한 고리들을 제거하기

 

러셀과 화이트헤드가 이 견해에 정말로 찬성했기 때문에 수학원리는 논리, 집합론 그리고 정수론에서 이상한 고리들을 추방하는 과정에서 대규모 과제였다. 두 사람이 내놓은 체계의 착상은 기본적으로 다음과 같았다. 가장 낮은 단계의 "유형" 집합에는 집합들이 아니라 "대상"만이 원소로 포함될 수 있다. 다음 단계 유형의 집합에는 대상들, 또는 최하 단계 유형의 집합들만이 포함될 수 있다. 종합해 보면 특정 유형의 집합에는 하위 유형, 또는 대상들로 이루어진 집합들만이 포함될 수 있다. 각 집합은 특정 유형에 속한다. 분명히 어느 집합도 자신을 원소로 포함시킬 수 없다. 포함시키려면 그 자신의 유형보다 높은 단계의 집합에 속해야 되니까. 이런 체계에서는 "자신을 원소로 포함하지 않는" 집합만이 존재한다. 또한 원소로 자신을 포함하지 않는 집합들 모두의 집합인 이전의 R은 더 이상 집합으로 간주되지 않는다. 유한 유형에 속하지 않으니까. 그렇다면 어느모로 보나 -이상한 고리들 폐지 이론"으로 부를 수도 있는- 이 유형 이론은 집합론에서 그 역설들을 제대로 제거해낸다. , 그럴싸해 보이는 인공 계층구조를 도입하고 자신을 원소로 포함하지 않는 모든 집합들의 집합 등 특정 유형의 집합이 형성되는 걸 인정하지 않는다는 비용을 치룬다는 전제 아래에서만. 직감으로 보면 이건 우리가 생각하는 방식의 집합이 아니다.

 

유형 이론은 러셀의 역설을 처리하지만 에피메니데스 역설이나 그렐링 역설에는 전혀 손을 쓰지 못했다. 집합론을 넘어서는 관심을 보이지 않는 이들에게 유형 이론은 꽤나 흡족한 것이었다. 하지만 수학 전반에 걸쳐 역설을 제거하는데 관심을 보인 이들 눈에는 유사한 "계층화" 같은 게 있어야 언어 내부의 회귀 고리(looping back)를 금지할 수 있을 것 같았다. 그러한 계층구조의 밑바닥에는 대상 언어가 있을 것이다. 여기서는 대상 언어 자체의 측면들이 아닌, (언어 문법 또는 언어에든 특정 문장 등) 특정 영역만 지시할 수 있다. 그래서 메타언어가 있다. 이 두 가지 언어적 차원을 경험하는 일은 외국어 학습자 모두에게 익숙한 일이다. 메타언어를 논하는 메타언어가 있고 또 그 메타언어를 논하는 메타언어가 있고 ... ... . 모든 문장이 계층 구조 중 어느 정확한 차원에 속해야 할 필요가 있을 것이다. 따라서 어느 발화(utterance)에 들어맞는 차원을 전혀 찾을 수 없다면 해당 발화는 무의미한 것으로 간주되어 잊혀질 것이다.

 

위에 나온 2단계 에피메니데스 고리를 분석해볼 수 있다. 첫 번째 문장은 두 번째 문장을 언급하고 있으므로 두 번째 문장보다 상위 차원에 있어야 한다. 하지만 같은 얼개로 두 번재 문장은 첫 번째 문장보다 상위 차원에 있어야 한다. 그건 불가능한 일이므로 두 문장은 "무의미하다". 더 정확히 말하자면 엄격한 언어 계층구조를 바탕으로 한 체계에서는 그 문장들이 공식화(formulate)될 수 없다. 따라서 그렐링의 역설 뿐 아니라 그 버전에 관계 없이 에피메니데스의 역설도 모두 방지된다. ("자기지시적이지 않은,heterological"은 어느 언어 차원에 속할 수 있는가?) 이제 우리가 항상 쓰지는 않은 추상들을 다루는 집합론에서는 조금 이상하더라도 유형 이론 같은 계층화를 받아들일 수 있는 것으로 보인다. 하지만 일상에 파고든 언어를 놓고 보면 그 계층화가 부조리해 보인다. 다양한 대상을 입에 올릴 때 우리는 스스로 언어 계층을 오르내린다고 생각하지 않는다. "이 책에서 나는 유형 이론을 비판한다" 등 꽤 당연한(평범한) 문장이 우리가 논의하고 있는 체계에서는 이중으로 금지될 것이다. 먼저, 그 문장에서는 "이 책"을 언급하고 있는데 그건 메타서적에서만 언급되어야 한다"- 둘째, , 즉 사람을 언급하고 있는데 나는 사람에 대해 전혀 언급할 수 없게 되어 있다! 이 예는 유형 이론을 익숙한 맥락 속에 들여올 경우 그 이론이 얼마나 우스꽝스러워 보이는지 지적하고 있다. 유형 이론에서 역설, 즉 어떤 형태의 자기 지시이든 일소하고자 채택한 구제책은 矯角殺牛의 실례이며 정말 양호한 많은 구성체를 무의미한 것으로 몰아간다. 그런데 형용사 "무의미한"(바로 이 문단의 유형 등) 언어 유형 이론을 논의할 때마다 모두 적용해야 할 것이다. 그 논의들은 대상 언어, 메타언어, 메타메타 언어 등 그 어느 차원에서도 분명히 이루어질 수 없기 때문이다. 따라서 그 이론을 논하는 행위 자체가 그 이론을 가장 뻔뻔하게 위반하는 게 된다! 해당 이론들은 그 취지가 평범한 구어체 언어가 아닌 형식 언어만을 다루는 것이라는 말로 변명을 할 수도 있겠다. 그럴 수도 있다. 하지만 이 말은 해당 이론들이 극히 학술적인 것이며 역설이 특수 맞춤형 체계에서 등장하는 경우를 제외하면 역설에 대해 논할 게 거의 없다는 걸 보여주는 것이다. 또한 특히 고도의 인공적인 형식성을 창조해야 하는 경우 등 어떤 희생도 무릅쓰고 역설들을 제거하려는 행보는 냉정한 정합성(consistency)에 치중한 나머지 변덕스럽고 기이하여 삶과 수학에 흥미를 선사하는 것들을 지나치게 홀대하는 일이다. 정합성을 유지하려는 노력이야 물론 중요하지만 그 노력 탓에 지나치게 다루기 힘든 이론 속에 빠져들게 된다면 무언가 잘못 되었음을 알게 된다.

 

수학 토대 중에서 이들 유형 문제들 덕에 이번 세기 초반에 존재했던 인간 추론 방법을 체계화하는데 많은 관심이 일었다. 수학자와 철학자들은 완전수 연구(정수론) 등가장 확고한 이론들에 대해서조차 그게 과연 탄탄한 토대 위에 세워진 것인지 이미 진지하게 의문을 표하기 시작했다. 기본 개념, 즉 집합 개념이 직관으로 보아 무척 설득력을 지니는 집합론에서 역설이 그토록 쉽게 모습을 보인다면 수학의 다른 분과들에서도 역설이 이미 존재하지 않을까? 이와 연관된 또다른 걱정거리로는 에피메니데스의 역설 등 논리의 역설이 수학에 본래 존재하는 것으로 밝혀져 그 때문에 수학 전체에 대해 의심의 눈길이 드리워지지 않을까하는 점이었다. 이는 수학이 단순히 논리의 한 분과(역으로 논리가 단순히 수학의 한 분과)라고 굳게 믿는 이들-그 수가 상당히 많았다-에게 특히 걱정거리였다.

 

사실 바로 이 질문, "수학과 논리는 구분되는가, 다시 말해 별개인가?"라는 질문이 논쟁의 근원이었다.

 

수학 자체를 연구하는 이 학문은 메타수학, 때로는 메타논리로 알려져 있다. 수학과 논리는 그토록 서로 얽혀 있으니까. 메타수학에서 최우선 순위는 수학 추론의 진정한 본질을 결정짓는 일이었다. 규칙적인 절차법은 무엇인고 올바르지 않은 절차법은 무엇인가? 항상 "자연어"(: 프랑스어나 라틴어 또는 일상 대화에 쓰는 언어들)를 써서 수학 추론을 해왔기 때문에 모호함이 있을 가능성은 언제고 상당했다. 어휘는 사람들에게 상이한 의미로 쓰이며 상이한 심상을 불러일으켰다 등등. 모든 수학 작업에 쓸 수 있고 그 표기법의 도움을 받아 어느 두 수학자든지 제시된 증명이 타당한가를 다룬 논쟁을 해소할 수 있게끔 해주는 한 가지 통일된 표기법을 정립하는 일이 합리적이고 중요해보이기까지하였다. 이 표기법을 정립하려면 적어도 수학에 적용되는 한에서는 인간 추론 중 보편적으로 수용할 수 있는 양식들을 완벽히 체계화해야 할 것이다.

 

정합성, 완전성, 힐버트의 프로그램

 

이게 논리에서, 그리고 분명히 모순 없이 수학의 모든 것을 이끌어내려 했던 수학원리의 목표였다. 이 목적에 폭넓게 찬사가 쏟아졌으나 (1) 모든 수학이 러셀과 화이트헤드가 서술한 방법들 속에 정말로 담길까, 또는 (2) 제시한 방법이 자명하기나 한 것일까를 두고 확신하는 이는 아무도 없었다. 러셀과 화이트헤드가 제시한 방법을 따를 경우 어느 수학자든 결코 모순된 결과를 도출할 수 없다는 게 명명백백했을까?

 

이 의문은 세계 수학계(그리고 메타수학자들)에 다음과 같은 난제를 내밀었던 저명한 독일 수학자 데이비드 힐버트를 특히 괴롭혔다: 아마도 러셀과 화이트헤드가 개술한 바로 그 방법들을 따라 수학원리에 규정된 체계가 정합한(모순이 없는) 동시에 완전한지(, PM에 제시된 틀 안에서 값이 참인 명제를 모두 도출해낼 수 있을까) 엄격히 증명하라. 이건 거창했고 다소 순환 구조라는 이유로 비판을 받을 수 있는 주문이었다. 바로 그 동일한 추론 방법을 토대로 여러분의 추론 방법들이 정당함을 어떻게 증명할 수 있을까? 신고 있는 편상화 가죽 고리를 써서 자기 몸을 일으켜 세우는 일과 같다. (우리는 이 이상한 고리들에서 빠져나올 수 있을 것 같지 않다!) 물론 이 난제를 잘 알고 있던 힐버트는 "유한적(finitistic)" 추론 양식에만 기대어 정합성이나 완전성 증명을 찾아낼 수 있을 것이란 기대를 표시하였다. "이들은 수학자들이 대개 인정하는 소수(small)의 추론 방법 꾸러미였다. 이런 식으로 힐버트는 수학자들이 신고 있는 장화 가죽고리를 써서 몸을 조금이라도 일으켜 세울 수 있으리라고 희망하였다: 더 작은 방법론 꾸러미에 의지해서만 수학적 방법들의 총합이 타당한 것으로 밝혀질 수 있을지도 모른다. 이 목표는 다소 비법秘法 같아 보이지만 이 세기 첫 30년간 전세계 위대한 수학자들으 다수의 마음을 사로잡았다.

 

하지만 31년차에 괴델이 어떻게 보면 힐버트의 프로그램을 완전히 폐기해버리는 논문을 발표하였다. 이 논문에서 괴델은 러셀과 화이트헤드가 제기한 공리 체계에 메울 수 없는 "구멍들"이 있을 뿐 아니라 일반화시켜 보면 어떤 공리 체계든 정합 체계가 아닌 한 정수론상의 참 명제를 모두 만들어낼 수는 없다는 점을 밝혔다. 마지막으로 P.M에 제시된 체계 등 체계의 정합성을 증명한다는 기대는 헛된 것으로 밝혀졌다: P.M에 든 방법들만을 써서 그 증명을 찾아낼 수 있다면 이게 괴델의 연구에서 가장 신비로운 결과값이다 - P.M. 자체는 정합하지 않을 것이다! 거기서 마지막 아이러니는 괴델의 불완전성 정리 증명에 이상한 고리들의 공격에 무너지지 않을 것으로 생각되던 보루인 수학원리의 심장부 바로 그곳에 에피메니데스의 역설을 들어앉히는 일이 포함되었다는 점이었다! 괴델의 이상한 고리는 수학원리를 허물지는 않았지만 러셀과 화이트헤드의 원래 목표가 허상이었음을 밝혀 P.M.에 대한 수학자들의 관심은 훨씬 줄어들게 되었다.