.. 요즘 중세철학을 공부하다 보니까 점점 현실적으로는 별 쓸모 없는 문제들에 조금씩 관심이 가네요.
몇 달 전이라면 눈길도 안 줬을 자연신학 같은 데 말이죠. -_-;;

이하 내용은 어젯밤에 귀가하다 생각난 내용을 좀 다듬은 거예요.
메인 게시판에 올릴 정도로 속 있는 내용은 아니고, 그냥 심심풀이로 보시라고 여기다 올립니다.
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1. 신이 존재한다는 사건을 G라 하겠습니다. 이때 어떤 사건 a에 대해 그 시간(뭐 단순한 생각이니 복잡한 물리이론 같은 건 신경쓰지 말고 선형으로 가정하죠. -.-;;)을 대응시키는 함수를 t(a)로 가정하면 임의의 G 아닌 사건 x에 대해 t(G) < t(x)입니다.

P1. 신은 인과력을 가지기 위해서는 필연적(모든 가능세계에서 참)으로 존재할 수 없습니다. 따라서, P(G) < 1.
Pf : 신이 필연적으로 존재한다면 P(G) = 1입니다. 그런데 이는 어떤 사건이 다른 사건에 대한 인과력을 가지기 위한 최소한의 조건인 '초견원인 조건'에 어긋납니다. B에 대한 A의 초견원인 조건은 시간 함수와 조건부확률을 이용해 다음과 같이 정의할 수 있습니다.
(i) t(A) < t(B), (ii) P(B) < P(B|A).
그러면, 어떤 임의의 사건 x에 대해 P(x|G) = P(x∩G)/P(G) = P(x∩G) = P(x) - P(x∩~G) = P(x)이므로, P(x) < P(x) 이 되어 G가 초견원인 조건을 만족하는 것은 불가능합니다.


2. 시간 T에 우리의 현실세계가 존재하는 사건을 W(T)라 하겠습니다. 그러면 W는 지금까지 일어난 모든 사건들의 교집합이고, 정의에 따라 t(W(T)) = T입니다. 이때 명백히 T1 < T2이면 P(W(T1)) > P(W(T2)) 이죠.

L1. 세계가 존재할 때 신이 거의 반드시 존재한다면, 시간이 흐름에 따라 세계가 존재하지 않을 때에도 신이 존재할 확률이 증가합니다.
Pf : L1의 전건은 P(G|W) ≒ 1입니다. 이때 P(G|W) = P(G∩W)/P(W)로부터 P(G∩W) ≒ P(W)을 얻습니다. 그러면, P(G|~W) = P(G∩~W)/P(~W) = [P(G) - P(G∩W)] / [1 - P(W)] ≒ [P(G) - P(W)] / [1 - P(W)].
그런데, P(G) < 1이고 시간이 흐르면 P(W)가 감소하므로, [P(G) - P(W)] / [1 - P(W)]는 증가합니다. (마지막 부분의 함수를 P(W)로 미분하고 정리하면 [P(G) - 1] / [P(W) - 1]².)

P2. 세계가 존재할 때 신이 거의 반드시 존재한다면, 시간이 흐름에 따라 신이 존재할 때 세계가 존재할 확률이 감소합니다.
Pf : P2의 후건은 P(W|G)가 시간이 흐름에 따라 감소한다는 것입니다. 이는 간단한 대수적 변형으로 증명할 수 있습니다:
P(W|G) = P(W∩G)/P(G) = [P(G) - P(~W∩G)] / P(G) = [P(G) - P(G|~W)P(~W)] / P(G) = 1 - [P(~W)/P(G)] P(G|~W). 그런데 P(~W)와 P(G|~W)가 시간이 흐름에 따라 증가하므로, 좌변의 P(W|G) 역시 이때 감소하게 됩니다.

P3. 세계가 존재할 때 신이 거의 반드시 존재한다면, 시간이 흐름에 따라 신이 존재하지 않을 때 세계가 존재할 확률이 증가합니다.
Pf : P2의 후건은 P(W|~G)가 시간이 흐름에 따라 증가한다는 것입니다. 역시 대수적 변형을 해 보면:
P(W|~G) = P(W∩~G)/P(~G) = [P(~G) - P(~W∩~G)] / P(~G) =
[P(~G) - P(~W) + P(~W∩G)] / P(~G) = [P(~G) - P(~W) + P(G|~W)P(~W)] / P(~G) = 1 + [P(~W)/P(~G)] [P(G|~W) - 1]와 같습니다.

이때 P(~W) [P(G|~W) - 1]의 증감을 고려하기 위해 t로 미분하면, L1에서 마지막 식을 미분한 결과를 Chain rule을 적용하고 대입하여,
P'(~W) [P(G|~W) - 1] + P(~W)P'(G|~W) ≒ P'(~W) [P(G|~W) - 1] + P(~W)P'(W)[P(G) - 1] / [P(W) - 1]² 을 얻습니다. W, G에 대한 식을 각각 -W, -G에 대한 식으로 모아서 정리하면 이 식은 - P'(~W)P(~G|~W) + P(~W)P'(~W)P(~G) / P²(~W) = P'(~W) [-P(~G|~W) + P(~G)/P(~W)]이고 괄호 안의 식은 [P(~G) - P(~G∩~W)] / P(~W) > 0이며, P'(~W) > 0이므로 결국 전체 미분식은 0보다 큽니다. 따라서, P(W|~G)은 증가하게 됩니다.


2-1. 물론 세계가 존재할 때 신이 '반드시' 존재한다면 P2는 자명하고, P3은 불가능하지만, 그런 가정은 수용하기 어렵겠지요.

2-2. 결국 P2와 P3으로부터 비합리적인 결과를 피하기 위해서는 그 전건인 P(G|W) ≒ 1을 부정해야 한다는 결론을 얻습니다. 이상이 저는 세계가 존재할 때 신이 존재할 확률이 그렇게 크지 않을 것이라는 데 대한 개략적인 정당화라고 생각하는데요.. 더 깊이 생각해본 바는 없어서 이런 논법이 유효한지는 잘 모르겠네요. 그냥 취미삼아 뇌 운동하기에는 좋았습니다만;;

2-3. 위에서 미분을 그냥 조건 없이 사용했는데, 실제로 아무리 간격이 작더라도 P(W(T))는 시간의 변화에 대해 이산적인 변화를 보이는 함수이므로 미분가능성 조건은 적절한 내삽과 외삽을 해야 성립할 거예요.다만 형태가 간단하기 때문에 미분 대신 차분을 이용해도 같은 결과가 나올 것 같으니 따로 다루진 않겠습니다.

2-4. P3-Pf에서의 논리적 과정을 도식적으로 명확하게 나타내면,
P(G|W) ≒ 1 → P'(G|~W) ≒ P'(W)[P(G) - 1] / [P(W) - 1]² → d(P(~W) [P(G|~W) - 1])/dt > 0 → dP(W|~G)/dt > 0.
입니다. 여기서 P(G|W) ≒ 1은 분명히 P'(G|~W) ≒ P'(W)[P(G) - 1] / [P(W) - 1]²보다 강한 조건이기 때문에, 미세한 계산을 요하는 이후 과정에서는 이 조건을 직접적으로 사용하지는 않았습니다.



p.s.
오랜만에 와서는 괴상한 글이나 투척하고 있네요. 에구..;; 늘 같은 변명이지만.. 요새 일정 때문에 컴퓨터를 할 시간이 정말 나질 않아요.(지금도 학교 컴퓨터로 접속해 있습니다;;) 피타고라스님 죄송합니다 ㅠㅠ.. 스프링노트 작업한다고 해 놓고 결국 아직 별 기여를 못 했는데, 조만간 중간고사가 끝나고 시간이 좀 생기면 본격적으로 참여하도록 할게요.

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추가 : 아래에서의 제 댓글에 관하여.
조금 생각해보니, L1과 P2는 문제없지만, 위의 P3을 증명하는 논리가 성립하기 위해서는 'P'(G|W) ≒ 0'이라는 가정이 하나 더 필요할 것 같네요. 대략 '세계에 대한 신의 일관성' 정도 될까요? 너무 신비적인 것 같습니다만.. 어쨌든 이 가정을 이용하는 방식을 보겠습니다.
엄밀히 말해서, P(G|~W) = [P(G) - P(G∩W)] / [1 - P(W)] = [P(G) - P(G|W)P(W)] / [1 - P(W)] 이므로, 이를 t로 미분하면,
P'(G|~W) = [ [- P'(G|W)P(W) - P(G|W)P'(W)][1 - P(W)] + P'(W)[P(G) - P(G|W)P(W)] ] / [1 - P(W)]²가 정확한 식이 됩니다.
여기서 조건  P(G|W) ≒ 1을 사용하고 정리하면 [ - P'(G|W)P(W)[1 - P(W)] - P'(W)[1 - P(W) - P(G) + P(W)] ] / [1 - P(W)]² =
[ - P'(G|W)P(W)[1 - P(W)] - P'(W)[1 - P(G)] ] / [1 - P(W)]² 이 되므로,
오차항 '- P'(G|W)P(W) / [1 - P(W)]'을 제거하기 위해서는 P'(G|W) ≒ 0 조건이 필요합니다.

그러면 이제 문제시되는 가정이 P(G|W) ≒ 1와 P'(G|W) ≒ 0, 두 개로 늘어납니다. 전자를 포기하는 것이 이상의 논증에서 원하던 결과였지만, 후자를 포기해도 수학적으로 하자는 없기 때문에.. 결국 전체적으로 논증 자체가 이대로 무리없이 성립하지는 않을 것 같네요. 관계 '≒'의 성질을 적당히 정의해서 'P(G|W) ≒ 1' 조건이 'P'(G|W) ≒ 0' 조건을 함축할 수 있도록 할 수 있느냐가 문제로군요.

Sicut erat in principio, et nunc, et semper,
et in saecula saeculorum.