참고 게시글 : http://theacro.com/zbxe/830389

 

참고 비디오: http://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww

 

원문 주소:  http://www.math.utoronto.ca/ashao/updates/2014-05-20/wtf

 

세줄 요약:

    * 1+2+3+4 =… 는 고전적인 무한 수열의 합의 정의에 따르면 무한대의 값을 가진다.

    * 그런데 무한 수열의 합을 다르게 정의하는 방법은 여러 가지 있다. 그 중 한 방법 (해석적 연속)을 사용했을 때는 이 값은 -1/12 이라고 할 수 있다.

    * 위의 비디오는 그런 설명을 넘어간채 무조건 1+2+3..=-1/12라고 말하는 것처럼 보이기 때문에, 문제가 있다

 

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1+2+3+4…= ㅆㅂ 뭐?

 

최근 나는 넘버파일(Numberphile) 이라는, 수학에 관계된 비디오를 올리는 유트브 계정을 알게 되었다. 그 곳의  비디오는 수학자들과 과학자들이 나와서 숫자 혹은 일반적인 수학에 관계된 사실 들을 수학자가 아닌 대중들에게 짧게 소개해 주는 것들이었다. 전체적으로 넘버파일은 환상적인 사이트이다. 아주 흥미롭지만, 보통 사람들은 정규 수학 교육과정에서 보게되지 못하게 되는 그런 여러가지 주제들을, 사람들이 접근하기 쉬운 방법으로 다루어 주고 있다. 수학에 관심이 있다던가, 그렇진 않더라도 그냥 호기심은 많고 남는 시간이있는 사람이라면 한번쯤 찾아 가치가 있는 곳이다.

 

그렇지만 내가 넘버파일을 알계된 계기는 별로 좋지는 못했다. 몇 달전인가 내게 실변수 해석학 (real analysis) 수업을 든는 학생이 오더니, 넘버파일에 올라와 있는 "충격:1+2+3+4+5 + ... = - 1 /12" 이라는 비디오에 관해 물어봤던 것이었다. 비디오에서는 물리학자 토니 파딜라와 에드 오플렌드가 나와서 무한 급수 1+2+ 3+ .. 값은 - 1 /12 이라고 주장하고, "증명" 보여주고 있었다. 마침 우리 수업에서 "수렴하는", "절대적으로 수렴하는", 그리고 "발산하는" 수열에 대한 진도를 마친 참이었기 때문에, 학생은 우리 수업에서 배운 수열에 대한 이론을 가지고 비디오의 내용을 설명해 달라는 것이었다

 

당연하게도, 비디오를 처음 보고나서, 나는 여러 부분에서 강한 반발을 가지게 되었다. 비디오는 시청자들에게 오해를 불러일으키고 있었으며, 심지어 다소간 부정직하기까지도 했다. 두말할 필요도 없이, 나는 비디오의 팬은 없었다. 비디오를 부정적으로 생각한건 나뿐만이 아니었고, 수학계의 다른 많은 사람들도 비디오에 대한 불만을 표출하였다. 그렇지만 내가 비디오를 보게 되었을 즈음에는 이미 이 비디오는 상당히 선풍적인 열풍을 일으키고 있었고, 이미 슬레이트 닷컴에는 기사까지 올라와 있었다.

 

[주의] 나는 당연히, -1/12라는 결과의 뒤에는 상당히 매혹적인 (그리고 수학적인 엄밀함도 갖추고 있는) 수학적 내용이 있다는 것을 알고 있다. 그에 관한 전문 용어라면, "해석적 연속 analytic continuation" "라마누잔 합산" 있겠다. -1/12이라는 결과가 사람들에게 "세상을 새로운 관점에서 볼수 있는"를 감정적 반응을 불러 일으킨다거나, 또 실제로도 물리학과 깊은 연관성을 (아마도) 가지고 있다는 것을 고려해본다면   (불행하게도 나는 물리학은 안다고 할수 있는 수준과는 거리가 멀다), 문제는 비 전문가들을 위한 소개 비디오로 쓰기에 아주  훌륭한 주제라고 할 수 있겠다. 특히 넘버파일과 같은 사이트에겐 말이다. 그렇지만 나는 이 비디오 그 자체의 몇몇 부분들에 대해서는 반대 의견을 가지고 있다.

 

"충격" 비디오가 올라간 다음에, 해당 과학자들은 문제에 있어서 자세한 설명을 담은 "후속 비디오" 공개했다. (나는 여전히 그것도 문제점이 많이 있다고 생각하긴 한다.) 최근에 에드워드 프렌켈은 문제를 자세히 해부해 본 비디오를 넘버파일에 올렸다. 프렌켈 역시 최초의 "충격" 비디오를 변호해 주면서, 비디오는 단순히 주제를 넓은 대중들에게 소개시키기 위했던 뿐이었다고 이야기 했다. 그리고 비디오로 인해 실제로 많은 이야기들이 대중들에게 오고 가게 되었다고도 이야기 했다. 그렇지만 이 비디오 때문에 여러가지 긍정적인 이야기들이 수없이 오고 갔다는 것은 사실이지만, 불행하게도 내 생각에 그런 '후속' 대화들은 최초의 비디오만큼이나 열풍을 일으킨 같지는 않다

 

그래서 뭐가 불만인가?

 

, 위에서 나는 1+2+...=-1/12 실제로,  (실질적이고도 흥미로운 방식으로 이끌어낸) 수학적으로 엄밀한 결과일 있다고 이야기 했다. 그러면, 그런 결과를 세상에 소개시킨 비디오의 어디가 문제라는 말인가?

 

첫번째 문제는 비디오가 주장하고 있는 주명제에 아무런 "조건절" 없다는 점이다 무한 수열의 1+2+3+... 정답으로 -1/12 라는 하나의 값을 가진다.”  그런데 무한 수열의 1+2+3+ 특정한 값을 가진다는게 정확하게 무슨 뜻인가? 애당초 값을 어떻게 정의할 있는가? 비디오 어디에도, 문제에 대한 논의는 아무것도 찾아 없었고, 그저 (어떻게 정의되었는지 모를) "하나의 " -1/12 라는 대담한 주장만이 있었다. 결국 이 비디오는  결과적으로 사람들을 오해하게 만드는, 낛시라고도 할 수 있을 것이다.

 

발산하는 수열, 그리고 무한 급수 (무한수열의 합) 몇가지 다른 정의에 대해 좀 들어본 사람들은, 어떤 토론에서건 간에 가장 핵심이 되는 질문은, "수렴이라고 하는 말은 정확하게 뜻하는가"라는 것을 알고 있을 것이다. 가장 중심이 되는 아이디어는, 보통은 1+2+3+... 값을 "무한대" 혹은 "아무 값도 아님"이라고 놓게 되지만, 합산 값을 어떤 다른 유한한 값으로 놓을 있는 방법이, 창의적이면서도 의미가 있는 방법들이 있다는 것이다. 근데, 불행하게도 해당 비디오는, 심지어 사실조차 주지시키지 않았다. 그럼으로서 이 논의의 밑바닥에 깔려있는 수학의 철학적이고도 풍부한 내용 또한 많은 부분 날려버리고야 말았다. 후속 비디오에서는 이런 부분을 조금 더 살렸고 '해석적 연속 analytic continuation' 에 대해서도 또한 어느정도 이야기 했지만, 그 비디오 또한 여전히 본질적으로 유사한 문제를 안고 있다

 

마찬가지로, 비디오의 제목 또한 같은 이유로 부적절하다. "충격: 1+2+.. = -1/12"라는 제목은 신비한 TV 서프라이즈 [(역주) 원문은 Upworhty.com]에나 어울리며, 위에서 이야기한 '낛시성' 대표한다고 있다. (물론 제목은 역할을 충실히 해서 비디오의 유명세를 높이는데는 도움을 같다.) 다만 이게 넘버파일 사이트 자체의 고질적인 문제는 아니라고 생각한다. 넘버파일들의 다른 비디오들은 이런 고약한 제목 없이도 충분히 시청자들의 흥미를 끌고 있는 것 처럼 보인다.

 

또 다른 문제는 비디오에서 보여주는 "증명" 부분이다. 비디오의 증명부분은 (그리고 후속 비디오의 일부분에서도) 여러 부분에서 그냥 틀렸고, 그렇기에 비디오의 '오해를 불러일으키는' 면을 가중시킨다. 물론 이런 비디오에서 증명의 자세한 부분은, 특히 태생상 기술적인 부분들은, 생략을 하는 것도 이해가 되는 부분이다. 그렇지만 내 말은 생략하지 않고 남겨둔 부분은 적어도 정확해야 한다는 말이다. 물론 설명을 할 때 상세한 증명 내용중 어떤 부분을 포함함시킬지, 내용을 어떻게 전달할 지를 결정하는 건 매우 어려운 일이다. 한편으로 시청자의 흥미를 잃지 않도록 하기 해야 때문에 특히 그렇다. 허나 아무리 설명을 하는 일의  어려움이 크다손 한들, '오해를 불러일으키는' 가정을 한다거나 아니면 아예 틀린 이야기를 하는 것은, 학문적으로 무책임한 일인 것이다.

 

증명의 엄밀함과 정확성이 부족하긴 하지만, 그렇다고 내 말이 지금 비디오의 "증명" 부분을없애버리라는 것은 아니다. 소위 '증명' 역사적인 가치도 있고, 결과가 나오는지에해서 대략적인 인상이나마 전달해 있으니까 말이다. (물론 논증에서 틀린 부분이 많아서, 외려 결과를 믿기 힘들게 하고 있기는 하다.)  전적으로 증명의 엄밀성과 관련된 기술적인 배경의 정확성에만 집착하다가는, 시청자들은 떠나갈 것이다.

 

그런게 아니라단지 화자들이 정직하게 이야기 하라는 것을 주문하고 있는 것이다.   비디오에 나와 있는 것은 진짜 증명은 아니다. (그러므로 증명이라는 말을 써서는 안된다.) 그건 그냥 범칙적이지 못한 방법으로 대략적인 논증을 늘어놓은 것에 불과하다. 따라서 그런 범칙적이지 못한 논증을 늘어 놓을 때는, 수학적으로 엄밀하지 못하거나, 대략이거나, 꼭 정확하게 보여주지 못하고 있는 부분을 반드시 표시를 하고 넘어가야 한다.

 

혹시나 이 비디오를 보는 시청자가 호기심을 가게 되었다고 하보자. (아주 좋은 현상이다!) 근대 그 사람은 해석학에 있어서는 배경 지식이 부족하다고 생각해 보자. 그런 사람이, 학계의 권위 있는 사람들이 이런 논증을 늘어놓는 것을 보고 들으면, 1+2+3…=-1/12라는 사실에 대한 반박할 여지 없이 확고한 증명을 보았다는 느낌을 가지게 될 것이다. 개인적으로 나는 이런 상황이 벌어지는 일은 커다란 피해라고 생각한다.많은 사람이 이 비디오를 즐겼다는 사실은  한편으로는 굉장한 일이지만,많은 사람들에게 1+2+3..=-1/12의 본질에 대한 그릇된 인상을 남겼다는 일은 다른 한편으로 불행한 일이다.

 

요약컨데, 이 비디오는 만약 다음의 요건들을 행하기만 했더라면, 여전히 환상적이면서도 아주 교육적이었을 것이다.

 

1.     이 비디오의 주제 명제의 뉘앙스를 잘 살란다. (예컨데 창의적이고 똑똑한 방법을 사용하면, 1+2+3+.. 이  유한한 숫자값을 가지게 되고, 그 결과가 실제로 의미있을 수 있을 있을 까요? 예 사실은 가능합니다. 그리고 거기에 해당하는 숫자 값은 -1/12입니다.”)

2.     이 비디오의 증명부분의 본질에 대해 정직하도록 한다. (예컨데, “이것은 실제로 수학적인 증명은 아니라, 설명을 위한 개괄적인 논증입니다. 여기서 이야기하는 각각의 단계들은, 실제로 엄밀하게는 그대로 적용될 수 없습니다.”)

 

필자의 이런 비판의 요지는 이 비디오에 실증적인 요소가 더 필요하다고 말하고 있는 것이다. 필자의 비판하는 부분들을 좀 더 상세하게 설명하기 위해서, 무한급수에 대해 약간의 배경 지식을 이야기하도록 하겠다. 여기서의 핵심은 모든 세부 내용을 다 전달하는게 아니라 (그러자면 지면과 시간이 훨씬 더 많이 필요할 것이다), 독자들에게 무한급수의 몇가지 다른 방법론들의 기본을 맛보여주고, 애당초 왜 여러가지 다른 방법론이 개발되었는지를 이야기해주는 것이다. 이 과정을 통해서, 독자들이 충격비디오의 전달방법이 어디가 잘못되었는지를 볼수 있게 되기를 바란다.

 

무한급수란게 정확하게 무엇인가?

 

대학 학부 과정에서, 미적분학 혹은 그 후에 배우는 해석학이건, 무한급수는 다음과 같은 형태로 정의하게 된다

 

수열의 합

 

x1+x2+x3+x4+x5+ …

 

을 고려함에 있어서, 먼저 부분합들을 고려한다. 부분합이란, 유한한 개수의 수열 항들의 합을 말한다.

 

                        s1=x1,     s2=x1+x2,   s3=x1+x2+x3,  …

 

등과 같이 말이다. 이제 이런 부분합들은 얼마든지 많이 만들어 낼 수 있다. 위의 급수(=수열의 합)가 어떤 값 L로 수렴한다고 하는 말은, n이 충분히 커졌을때, n번째 부분합 Sn의 값이 L값에 (한없이) 가까와 진다는 말을 뜻이다. 미적분학의 용어를 사용하자면, 이 말 뜻은

 

 lim (n→∞) Sn=L.

 

이라는 말이된다.  

 

예를들어 다음의 기하 급수를 생각해 보자.

 

                        1/2 + 1/4 + 1/8 + …

 

머리를 쳐박고 계산을 좀 해보면

 

                        s1 = 1/2,       s2= 1/2 +1/4 = 3/4 ,     s3 = 1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8,

                     ….  sn = 1 – 2/n

 

이 된다. , 이렇게 충분히 많은 항을 더해나가다 보면, 언젠가는 (원하는 만큼) 1에 가까운 값을 얻을 수 있게 됨을 알 수 있다. 그러므로, 무한급수의 미적분학의 표준적인 정의에 의하자면이 급수의 값은

 

                        1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1

 

가 된다.

 

만약 이 정의를, 지금 문제가 되는 급수 1+2+3+4… 에 적용하면, 이 급수는 절대로 유한한 값을 가지지 못하게 된다. 실제로, 해당 수열의 부분합들은 무한을 향해 점점 커지게되므로, 아무리 해도 유한한 숫자값을 가질 수는 없을 것이다. 그러므로 무한 수열의 합에 대해서 위의 정의를 받아들인다면, 1+2+3…은 절대로 -1/12가 아니게 된다. 이 정의에 의해서는 해당 급수가 가지게 될 수 있는 유일한 값은+∞ 뿐이다

 

그러므로. 이제 이 비디오에서 무시되었던 핵심 상황에 대해 다시 이야기를 해야 한다. 급수 1+2+3.. 에 대해 어떤 유한한 값 (이를테면 -1/12)을 대응시키기 위해서는, 무한 급수의 정의를 재조명하고 새로운 정의를 내려야 한다다르게 말하자면 이 무한 급수가 다른 유한한 값을 가지는 것이 용납할 수 있도록, 말하자면 골대 자체를 옮기고 있는 것이다. 그러므로 이런 사실을 명백하게 전달하고 있지 않고 넘어가는 설명을 하는 것은, 시청자들을 오해시키고 있는 것이며,  이 문제의 핵심을 놓치고 있는 것이다. 뿐만 아니라 같은 논리로, 또 다른  중요한 문제인 다음의 질문 역시 무시하고 있는 것이다: 도대체 어떤 경우에 무한 급수를 재정의하는게 의미가 있는가?

 

아래에서 우리는 무한급수의 뜻을 의미있는 방식으로, 때때로 창의력을 동원해 가면서, 재정의하는 여러가지 방법들을 살펴보겠다.  그러면서 이 각각의 방법들의 장점과 단점들도 이야기 해보겠다.

 

절대 수렴

 

먼저 가장 논란의 여지가 적을 것 같은 절대수렴부터 이야기 해 보도록 하겠다. 무한급수 x1+x2+x3 .. 가 절대적으로 수렴한다는 말은, 급수가 위에서 말한 미적분학의 정의에 따라 수렴하고, 또한 동시에 각 항의 절대값들의 합, |x1|+|x2|+|x3|+.. 역시 같은 정의에 의해 유한한 값을 가진다는 말이다. (다만 이 경우에 절대값들의 합의 특정 값이 무엇인지는, 그 값이 하나 존재하는 한, 신경쓰지 않는다.) 이 정의는 조금 기술적이다. 또 그 상세한 내용을 다루자면 이 문서의 범위를 벗어나다. 그렇지만 중요한 것은, 이 절대적으로 수렴하는 급수를 다룰 때 사용할 수 잇는  사용할 수 있는 다음의 특성들이다.

 

1.   첫 항을 제외한 나머지 항들의 합 (x2 + x3+ x4 ….) 에 있어서 다음의 등식이 성립한다. 이는 유한급수의 경우와 마찬가지이다.

 

                         x2 + x3 + x4 … = L – x1

 

  1. 급수의 항들을 더하는 순서를 변경한다고 하더라도, 그 결과는 변하지 않는다. 유한 급수의 경우와 마찬가이다. 예를들어, x2를 더하고, x7을 더하고 x5를 더하고, x13을 더하고 이런 식으로 xn을 아무 순서로 더하더라도, 최종적으로 (무한히) 더한 결과는 같은 L을 가지게 된다.

 

위에서 말한 기하급수

 

             1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1

 

는 사실 절대적으로 수렴한다. (각항의 절대값들의 합은 그냥 각 항들의 합과 같다.)  또 첫항을 제거했을 때 어떻게 되는지도 확인해 보면 다음과 같다.

 

             1/4 + 1/8 + 1/16 … = 1/2 = 1 – 1/2

 

마찬가지로, 각 항들의 더하는 순서를 재조정한다고 하더라도 결과값은 같아진다.

 

간단히 말해서, 절대 수렴하는 수열의 합은 유한 수열의 합과 같은 성질을 가진다. 이 사실을 생각해보면, 절대 수렴이야 말로 무한 급수를 정의 하는데 있어서의 (가장) 올바른 방식인 것 같다는 생각이 설득력 있어진다. (수학적 배경이 있는 사람들에게: 절대 수렴하는 수열은 Lebesgue 적분 이론과 직접 연관이 된다.)

 

미적분학적 정의로 돌아가기

 

자 이제 다시 미적분학의 표준 정의로 돌아가보자. 사실 이 정의는 절대 수렴보다 더 약한개념이다. 예를들어 다음의 무한 급수

 

            1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 - ….

 

는 미적분학적 정의를 따르자면 수렴하지만 (그 값은 ln 2 이다.) 하지만 절대적으로 수렴하지 않는다. 특히, 조화 수열의 합

 

            1+1/2+1/3+1/4+ 1/5+… = |1| + |-1/2| + |1/3| + |-1/4| + |1/5| + …

 

(미적분학의 정의에 따르면) 유한한 숫자로 수렴하지 않는다. 이 값은 그 어떤 양수값보다도 점차 더 커지기 때문이다. 그러므로, 우리는 위의 무한 급수가 조건부 수렴한다고 한다.

 

그런데, 조건부 수렴하는 수열에 관심을 기울여야 할까? 이 질문에 답을 하기 위해서 우리는 위의 절대 수렴하는 급수의 특성들을 살펴볼 필요가 있다. 먼저조건부로 수렴하는 급수도 (1)번 특성은 여전히 성립함을 별로 어렵지 않게 알 수 있다. , 만약 수열의 첫 항만 제거한다면, 그 수열의 합은 딱 그 제거된 첫항 만큼만 차이가 난다.

 

하지만, 흥미로운 부분은 (2)번 특성은 더이상 성립하지 않는 다는 것이다. , 조건부로 수렴하는 급수의 각 항의 순서를 바꾸게 되면, 그 결과값은 더 이상 동일하지 않게 된다. 그뿐만 아니라, 믿기지 않지만, 다음과 같은 사실도 성립힌다. (그 증명은 학부 해석학 과정에서 배운다. )

 

    ==> 만약 무한 급수가 조건부로 수렴하지만 절대적 수렴하지는 않으면, 이 수열의 항의 순서를 재조절함으로서 그 합의 값을 임의의 어떠한값으로도 만들수 있다.

 

그러므로 아까의 수열

 

                        1 - 1/2 +1/3 - 1/4 + 1/5…

 

의 각 항의 더하는 순서를 잘 조정해보면, 우리는 위 급수의 값을 원하는 대로 아무 값으로 만들어 낼 수 있다는 말이다. (이를테면 -1/12).

 

지금까지의 논의에서 얻을 수 있었는 것은 무엇인가? 첫째, 만약 급수의 정의에 있어서 미적분학의 표준을 따를 경우, 수열의 항의 순서를 재조정하면 그 합산 값이 변하게 될 수 있다는 사실을 분명히 알고 있어야 한다는 것이다. 실제로, 위와 같은 조건부 수렴 수열들을 다루면서, 합산하는 순서를 생각없이 이리저리 재구성하다보면, 대게는 그저 쓰레기 같은 결과를 얻을 뿐이다. 둘째로 중요한 점은, “공짜 점심은 없다는 점이다. 무한급수의 수렴 에 대한 미적분학의 표준 정의는 절대 수렴보다  더  “강력하고 말할 수 있다. 표준정의가 절대 수렴보다 더 많은 급수들을 유한한 값에 대응시킬 수 있으니까 말이다. 하지만 거기에는 댓가가 따른다: 미적분학의 표준 정의를 따름으로서, 우리는 수열의 항들의 순서를 재배치할 수 있는 자유를 잃게 된다. 아무리 덧셈에는 일반적으로 그 순서를 아무렇게나 바꿀수 있는 자연적특성이 있다고 우리가 생각하더라도 말이다.

 

한번 막 나가보자!

 

이제 조금 더 재미난 무한 급수에 주목해 보도로 하자.

 

            1-1+1-1+1-1…

 

위 수열은 그란디Grandi의 수열이라고도 알려져 있다. 미적분학적 정의를 사용해서 부분합을 구해보면

 

          1=1,   1-1 = 0,    1-1+1 = 1,    1-1+1-1 = 0,   …

 

즉 부분합은 0 1 두개의 값을 왔다 갔다 하고, 어떤 하나의 값으로 정해지지 않음을 알 수 있다. 그러므로 미적분학적 표준 정의에 의하면, 그랜디의 수열은 유한한 값으로 수렴하지 않는다. 상대적으로건 절대적으로건.

 

충격비디오에서, 설명자들은 위의 수열 1-1+1-1+1… 을 보면서, 위의 의미에서 어떤 값으로도 정해지지 않는 다은 것을 보여준 다음, 갑작스레 여기에다가 값 1/2을 배정해 버린다. 그리고는 설명자들은 이 값이 1/2 이라는 사실에 대한 증명이 존재한다고 말해버리는 실수를 저지른다. 아무리 이 비디오가 상세한 부분들은 생략하고 있다곤 하지만 (충분히 그럴수 있다), 1/2 이라는 값을 얻기 위해서는 무한 급수의 합에 대한 정의를 바꾸어야 한다는 큰 사실을 전혀 이야기 하지 않는다 말이다! 다시 말하지만, 이런식으로 이야기 하는 것은 수학에서 실제로 벌어지는 일을 잘못 전달하는 셈이 된다.

 

, 그럼 이제 무한 급수에 대한 개념을 확장해서, 그란디의 수열이 실제로 의미있는 유한한 값을 가지도록 해 보겠다. 그러려면 어떻게 해야 하겠는가? 먼저 기본적인 발상은 그란디의 수열은 미적분학적 의미로 어떤 값에 수렴하기에는 너무 울퉁불퉁하다는 데 있다. , 이 수열은 그 부분합들은 아무리 길게 잡아도 0 1 두 개의 값  만을 왔다갔다 한다는 말이다. 그러므로 이를 해결하는 아이디어는 이 부분합들을 어떤 식으로건 부드럽게만드는데 있다. 그리고 그렇게  만드는 가장 흔한 방법은 세자로 평균이라는 방식을 적용하는 것이다. (참고로 넘버파일에, 제임스 그라임이 올려둔, 세자로 평균에 관해 쉽게 잘 설명해둔 비디오가 있다.)

 

그란디의 수열에서의 부분합들을 다시 고려해 보자. 여기서 각 부분합들에 번호를 붙이면

 

          s1 = 1,     s2 = 0,     s3 = 1,     s4 = 0,  …

 

와 같게 된다. 하지만 기존 미적분학적 정의에서 처럼 단순히 n이 커지면 sn이 어떻게 될까만을 고려하는 대신, sn들의 평균값을 다음과 같이 구해 보도록 하겠다.

 

           a1 = 1/1*(s1) = 1,                      a2 = (1/2)*(s1 + s2) = 1/2,

           a3 = (1/3)*(s1 +s2+s3) = 2/3,       a4= (1/4)*(s1+s2+s3+s4) = 1/2

           a5 = (1/5)*(s1+s2+s3+s4+s5) =3/5

 

이런식으로 계속 진행해 나가다보면, 부분합 sn과는 달리 평균값 an 1/2을 향해 접근하게 됨을 알 수 있다.

 

여기에 흥미로운 사실이 한 가지 더 있다. (학부 해석학 교과서에서 연습문제로도 자주 나온다.) 표준 미적분학적 의미에서 수렴하는 무한 급수는, 세자로식 평균을 취했을 때도 같은 값으로 수렴한다는 사실이다. 결과적으로  세자르 합산 (미적분학의 수렴의 정의에 비해) 항상 더 강력한 정의라고 할 수 있겠다. 말인즉 세자로 방식과 미적분학 방식을 비교했을때, 세자로 방식이 언제나 더 많은 종류의 무한 급수에다가 유한한 값을 대응해 줄 수 있다는 뜻이다. 하지만, 앞에서 말했듯 공짜 점심은 없는 법이다. 강력함에는 댓가가 따른다. 유한한 값에 수렴하는 수열의 종류를 늘리는 댓가로, 우리는 덧셈이 가지고 있는 자연적특성을 한가지 더 포기해야 한다.

 

그란디의 수열을 다시 생각해 보자. 그리고 이 급수에다가 0을 여러개 삽입한다고 생각해보자. 이를테면, 수열을 다음과 같은 방식으로 재구성해보자:

 

    1+0-1  +1+0-1  +1+0-1  +1+0-1 …

 

, 원래 수열에다가 +0만 삽입했으므로, 이성적으로 생각해보면, 위의 급수의 (세자로 평균을 통한) 값은 원래 그란디의 수열과 같은 1/2 이여야 할것이다. 그러나 막상 부분합을 구해보면

 

      s1=1, s2=1, s3=0,   s4=1, s5=1, s6=0, …

 

그리고 세자로 평균의 값은,

 

      a1 = 1/1 (1) = 1                           a2 = 1/2 (1 +1) = 1   

      a3 = 1/3 ( 1+ 1 + 0) = 2/3             a4=1/4(1+1+0+1) = 3/4  

      a5 = 1/5(1+1+0+1+1) = 4/5           a6 = 1/6(1+1+0+1+1+0)=2/3

   …

 

평균값은 어떻게 되겠는가? 위의 계산을 계속 반복하다 보면 an의 값은 아까처럼 1/2로 접근하는게 아니라 2/3 로 접근하게 됨을 알 수 있다. 그러므로 그란디의 수열에 0 만 더해서 얻은 이 새로운 수열은, 세자로식 정의에 따르면 아까와는 다른 값인 2/3로 수렴하게 된다.

 

이런 현상은 미적분학적 정의에서 무한급수를 다룰때는 절대 발생하지 않는다. 처음에 보면 좀 신기하기도 하다. 하지만 이 현상은 평균 계산 과정을 도입했기 때문에 생기는 부산물이다. 평균 계산의 결과은 덧셈의 순서와 항의 위치에 결과를 많이 받기 때문이다.  그렇담 이런 뭔가 부자연스런특성을 가지는 세자로 합산이 과연 무한 급수의 정의로 합당할만한 것인가 하는 의문이 남는다. 이런류의 질문은 본질적으로 철학적이다. 그리고 그 대답은 이런 정의가 응용되는 예제에 영향을 받을 수도 있다. 예를 들어, 위의 세자로 합산의 정의를 사용하면, 푸리에 수열의 특정 성질을 성공적으로 기술할 수 있다. 그러므로 그 상황에서는 세자로 합산은 무한 급수의 합을 정의하는 올바른개념이라고 볼 수 있는 것이다. 그렇지만 다른 상황에서는, “옳다라고 생각하는 것과 이성적으로 그럴듯 하다라고 생각하는 것 사이에 차이가 있을 수도 있다.

 

 

충격비디오의 한 장면에서 다음과 같이 두 무한 급수의 합을 구하는 장면이 나온다.

 

        (1+2+3+4+5….) – 4 (1+2+3+4+5…) = 1 -2 +3 -4 +5 -6…

 

하지만 우항과 같은 수열을 얻기 위해서는 사실은 좌항의 두번째 괄호안에 있는 수열에 +0을 삽입해서 항들의 위치를 맞추어야 한다. 그렇지만 세자로 합의 경우에서 보았듯이, 이렇게 하면 급수의 값이 변할 수 있게 된다. 이는 충격비디오의  증명부분이 잘못되어 있는 경우중 하나이다.

 

 

자 그럼 이제 다시 제목에서 다루고 있는 원래의 수열로 돌아가자: 1+2+3+4…. 만약 아까처럼 부분합을 구하고 세자로 평균을 구해나가면, 그래도 an의 값은 무한대를 향하게 된다. 그러므로 강력한 세자로 합산을 가지고도, 여전히 1+2+3+..의 값을 -1/12은 고사하고, 아무런 유한한 값에도 대응시킬 수 없다. 그러기 위해서는 조금 더 창조적일 필요가 있다.

 

 

좀 더 막나가 보자.

 

자 이제 우리 주제의 핵심을 향해 들어가 보자. 먼저 다음의 무한 급수를 생각하자.

 

    1 / 1s  +  1 / 2s  +  1 / 3s  + 

 

여기서 s는 어떤 실수 값을 가지는 지수이다. 만약 미적분학이나 해석학의 배경 지식을 가지고 있다면, 위의 급수는 s>1 일 때, (표준 미적분학 정의에 의해) 유한한 값을 가진다는 것을 기억할 수 있을 것이다.

 

그리고, 복소수와 친숙한 독자들이라면, 과감하게 나가서 위의 실수 s를 복소수 z로 바꾸어 볼 수 있을 것이다

 

    1 / 1z  +  1 / 2z  +  1 / 3z  +  …

 

위 수열의 합은 복소수 값을 가지더라도, 여전히 무한 급수의 값에 있어서는 아까처럼 수렴 조건을 따질 수 있다. 실수에서의 경우와 마찬가지로, 위의 복소수 수열의 합은 z의 실수부가 1보다 클 때 (오직 그럴 때만) 수렴한다는 사실을 증명할 수 있다.

 

자 이제 위의 복소수 급수를 가지고 함수를 정의해보자.

 

       ζ(z) = 1 / 1z  +  1 / 2z  +  1 / 3z  +  …

 

위의 함수는 수열의 합이 (일반적인 미적분학의 정의에 따라서) 수렴할 때만 정의된다. z의 실수부가 1보다 클 때만 정의된다. (이 함수가 바로 그 유명한 리만 제타 함수이다.) 이 함수 ζ 의 한가지 훌륭한 점은, 이 함수가 복소 해석함수라는 것이다. 자세한 기술적인 내용은 생략하고, 대충 말해보면, 어떤 함수가 해석함수라는 말의 뜻은 그 함수를 멱급수/테일러 급수를 사용해서 표현할 수 있다는 뜻이다. 미적분학 1년차때 배우는 그런 종류의 급수들 말이다. 또 해석함수라는 말을 들어본 사람들은 해석 함수들이라는 것이 아주 훌륭한특징을 가진 배제적인 (exclusive) 함수들의 종류라는 것을 알고 있을 것이다. (여기서 훌륭하다고 하는 말의 뜻은 어떤 해석 함수의 특정 지점의 값이 전적으로 그 지점 근처에서의 해당 함수의 행태로 부터 정해진다는 뜻이다.)

 

이제, 놀랍게도 ζ 의 정의역을 확장해서 이 함수가 z=1일때를 제외하고는 모든 복소수 값에 대해ζ가 해석 함수가 되도록 만들 수 있다. 그리고 그 방법은 오직 한가지 방법 밖에 없다. (역시나, 이 내용에 대해 자세히 이야기하기엔 공간이 모자란다. 이 소위 해석적 연속이라는 주제는 시간을 내서 들여다 볼 가치가 있는 환상적인 주제이다.) 그 방법인 즉슨, 해석함수가 가지는 훌륭햔특성과 배재성(exclusivity) 를 사용해서, ζ 를 해석적으로 확장해서ζ (z) z=1을 제외한 모든 복소수에 대해 위의 급수로 정의하는 것이다.

 

다시말하면, 원래  ζ (z) 는 실수부의 값이 1보다 큰 z에 대해서만

 

        ζ(z) = 1 / 1z  +  1 / 2z  +  1 / 3z  +  …

 

라고 정의되었었다. (왜냐하면 실수부의 값이 1보다 큰 z에 대해서만 위의 수열이 미적분학적으로 수렴하니까.)

 

그렇지만 우리가 해석함수와 해석적 확장의 자연스러움을 확신한다면, 그냥 무조건 믿고 z 0이 아닌 모든 복소수 에 대해서ζ(z)가 무한 수열의 합

 

           1 / 1z  +  1 / 2z  +  1 / 3z  +  …

 

같다고 받아들이자는 것이다. 그렇게 되면, 이제 z= -1 일 때 위의 함수는

    

          ζ(-1)  == 1 / 1-1  +  1 / 2-1  +  1 / 3-1  +  … = 1+ 2+ 3+ ….

 

가 되고, 그럼 이게 지금 우리가 다루고 있는 바로 그 급수이다.

 

자 이제 (수열의 합을 구하는 방식이 아닌) 약간 똑똑한 다른 방식으로ζ를 계산 하면ζ(-1) = - 1 /12 임을 보일수 있다. 그러므로 해석적 확장의 자연스러움을 받아들인다면, 1+2+3+4+.. 에 대한 자연스러운 값으로 -1/12 를 대응 시킬 수 있는 것이다. , 이 해석적 확장을 이용한 수렴의 새로운 정의를 사용하면, 기존의 방법들로는 다루지 못했던 급수  1+2+3+4… 에다가 어떤 유한한 값을 대응 시킬 수 있게 된다. (그리고 그 값은 -1/12 이다.)

 

하지만, 아까 이야기 했듯, 공짜 점심은 없는 법이다. 이 새로운 강력함을 얻으면서, 잃어 버린 부분이 있다. 이제 다음의 급수를 생각해 보자.

 

            2 + 3 + 4 + 5 + …

 

원래의 급수 1+2+3+ … 에서 첫항 1을 제거한 것이다. 이성적으로 생각해 봤을 때 이 수열의 값은 1+2+3+.. 에서 1을 제외한 값 즉, -1/12 -1 = -13/12 가 되어야 할 것 같다. 그렇지만, 해석적 연속을 이용해서 위의 급수를 정의하는 방법은 (터렌스 타오의 블로그 참조) 다음과 같다

 

          2 + 3 + 4 + 5 .. <=> (1+2+3+…) + (1+1+1+…) = ζ (-1) + ζ (0) = -1/12 + (-1/2) = -7/12  

 

이 값은 -13/12와 다르다.

 

세상에나, 다시한번 우리는 무한 급수의 값에 대한 해석을 자유롭게 가져감으로서, 우리가 당연하다고 생각했던 덧셈에 대한 기본적 성질 하나를 포기해야 하는 것이다.

 

충격비디오의 속편에서, 발표자들은 이 해석적 연속에 대해 이야기를 한다. 하지만 그 과정에서 발표자들은ζ (-1) 을 정의하고 그 값이 1+2+3+4… 와 같다고 받아들이는데”, 어떤 믿음과 같은 것이 필요하다는 이야기를 빠뜨린다. 다시 말하지만, 이건 골대를 옮기는 일과 같은 것이다. 게다가, 이 사실을 분명하게 이야기 하지 않음으로서, 시청자들은 이 새로운 정의를 만들어 내는 데 수학적으로 얼마나 멋진 방법이 동원되었는지를 간과하게 된다. (반면, 이 속편에서 그들은 이 해석적 연속 방법 말고도, 다른 방법의 정의를 통해서도, 1+2+3+… 에다가 -1/12을 대응 시킬 수 있다는 것을 보여준다. 그리고 그 사실은 이 -1/12이라는 결과에 뭔가 더 깊은 의미가 있을 수 있다는 중요한 단서가 된다.)

 

부록 비디오에서, 발표자들은 또 해석적 연속이 관련된 증명 여기저기를 마찬가지로 이상하게 말해 버린다. 예를 들면, 한번은 이 사람들이 다음의 기하 수열의 합 공식을 사용한다.

 

         1 + x + x2 + x3 + x4 + … = 1 / (1-x)

 

이는 표준정의에 따르면 |x|<1 일때만 성립한다. (이 비디오에서는 x < 1일때라고 말하는데 그건 아주아주 틀린거다.) 어쨌건, 그리고 나서는 이 사람들은 x = -1을 공식에 대입해서

 

         1 – 1 + 1 – 1+1 -1 … =  (-1) 0 + (-1)1 + (-1)2 + (-1)3 + (-1)4 + … = 1 / (1- (-1)) =  1/2

 

이라고 하는데, 이 건 표준적인 의미에서는 틀린 말이다. 실제로 이 위의 식은 창의적인단계이며, 앞에서 이야기한 해석적 연속을 적용한 다른 예가 된다. 다시 말하자면 위의 식이 성립하기 위해서는, 무한 급수의 합을 다시 정의하는 일이 필요하며, 그 비디오는 이 시점에서 그런 이야기를 하지 않고 있었다.

 

 

급수 1+2+3… 이 무한대가 되는 대신 -1/12 이라는 값을 배정할 수 있다는 것은 대략적으로 다음과 같이 해석 할 수 있다. ζ (z) z = 1에서 폭발한다고 생각해 보자. 해석적 연속이란, 복소수 평면 상에서 이 특이점 z=1의 주변을 탐색하는 것으로 생각해 볼 수 있다. 이런 식의 기술은 물론 좀 대략적이긴 하지만, 1+2+3+.. 에 대한 막가는정의가 어떤 경우에는 말이 될 수도 있음을 보여주는 것이다. 또한, 이 이론이 물리학에서도 관련성이 있다는 것도 이 해석을 아주 매혹적으로 만들어 준다.

 

이 방식이 무한 급수를 말하는데 있어서 적합한가 여부는, 물론 전적으로 문맥에 달려있다. 예를 들어 충격비디오에서 인터뷰어 브랜디 하란 (넘버파일 사이트의 창시자)은 다음과 같은 질문을 한다. 계산기를 가지고 1+2+3..을 계속 무한히 더하면 언젠가 -1/12에 도달하겠냐고. 이 질문의 답은 분명히 아니오이다. 그 이유는, 이 글에서 우리가 다루었던 내용에 따르면, 이 계산기의 예시는 무한 급수에 대한 표준적인 미적분학적 정의를 따르기 때문이다. 실제로 1+2+3.. 을 계산기로 계산해 가는 것은 실제로 급수의 부분합을 구해나가는 것과 같다. 그러므로, 계산기 모형의 문맥은 무한급수에 대한 미적분학적 정의가 적합한 경우이며, 해석적 연속 정의는 적합하지 않다. 해석적 연속(analytic continutation)의 정의는 근본적으로 다른 해석(interpretation)방법 가지고 있다.

 

결론

 

이상의 설명은 수학 소개 비디오에서 말하기에는 분명 너무 길다. 특히 비전공자들을 대상으로 한 비디오에서는 말이다. (다른 한편으로는 충분히 주의를 기울여야 하는 중요한 논점들을 모두 다루기에는 불행하게도 너무 짧다.) 그렇지만 궁극적인 핵심은 발산하는 수열의 합에 대한 이상한 값들이 나오는 일은 무한 급수의 값에 대한 다른 정의를 사용하기 때문에 발생하는 일이라는 점이다. 더구나 이런 서다른 정의들은 각각은 다른 장단점과 다른 해석방법을 가지고 있게 된다.

 

그러므로, “충격비디오에 대한 나의 입장은, 이 비디오가 위와 같은 사실들은 덮어두고 “1+2+3+… -1/12라고 아무런 조건절 없이 이야기하고 또 그 증명에서 여러가지 오류가 있는 논증들을 전달함으로서, 전체적인 논의에 상처를 주고 있다는 것이다. 내 생각엔 위과 같은 점들을 간략하게라도 언급하고 넘어가 주기만 했더라도, 이 비디오의 설명을 발전 시킬수 있었을 것이다. 그렇게 함으로서 이 주제의 풍부함이 더해지고 추가적인 논의와 탐색의 문도 열어줄 수 있었을 것이다.

 

어떤 수준에서든 간에 수학을 가르쳐 본 사람이라면, 그게 극도로 어려운 일이라는 걸 알고 있다. 어떻게하면 수학에 관해 효과적으로 이야기를 하되 흥미롭고도 깔끔하게 이야기 할수 있을까엄밀함에 매몰되지 않고, 듣는 사람들을 쫒아버리지 않을 수 있을까? 그렇지만 그와는 동시에, 교육자이자 전달자로서, 우리는 다른 중요한 책임을 지고 있는 것이다. 그것은, 우리가 청중들에게 전달하는 내용은 틀리거나 오해를 일으켜서는 안된다는 것이다 이것을 만족하지 못면 커다란 문제를 야기시킨다. 우리의 일에 있어서, 이 책임은 양보할 수 없는 문제인 것이다.