(길게 쓸 생각은 없었는데 이리저리 사족을 붙이다 보니 쓸데없이 긴 글이 되었군요. 왠지 여기 분위기에는 좀 안 맞는 글 같은데, 내리길 원하는 분이 계시면 내리겠습니다.)

앞덧 1 : 이하의 글은 한 번 수정한 글입니다. 어제 썼던 수정 전 글에서 저의 핵심 논지에 큰 오류가 있었기 때문에 급히 수정합니다.

앞덧 2 : 구멍 메우려고 계속 수정하다 보니 글의 부피가 괴물같이 커졌습니다. 시간이 많은 분이라면 논증을 하나하나 따라가면서 다 읽으셔도 상관없겠지만, 그렇지 않으시다면 제1종 믿음과 제2종 믿음이 나오는 부분부터는 공리니 정리니 생략하고 T5, T8과 수정된 논증만 보셔도 됩니다. 어차피 공리나 정리 같은 건 난데없이 믿음에 관한 논리적 사실을 던지면 반드시 이것이 어떻게 정당화될 수 있느냐고 물으시는 분이 반드시 계실 것 같아서 그냥 처음부터 쌓아 올리자는 생각으로 쓴 것이기 때문에, 그 세세한 정당화 과정이 본 글의 핵심적인 주장과 크게 관련은 없습니다.

앞덧 3 : 글이 원래 참조 글의 Re에 관한 내용보다 필요 이상으로 많은 걸 담고 있고, 부피도 원 글보다 커졌기 때문에(-_-;;;) 카테고리를 'RE' → '철학' 으로 옮겼습니다.

앞덧 4 : 본문에서 다루는 공리계는 해당 공리계가 적용되는 논증을 보충하기 위해 생성한 것입니다. 이하에서 S(p) → p 등의 정리나 T8의 '추론 규칙' 등은 인식논리(epistemic logic)에서와 유사한 점이 있으나, 공리 간의 엄밀한 상호 독립성 확인은 거치지 않았고, 또 너무 많은 공리는 일부러 가정하지 않았기 때문에(지금도 많습니다;;) 이 공리계는 아카데믹한 수준에서 볼 때 그다지 엄밀하지는 않고 믿음의 논리적 성질에 대해 '전부'를 포괄할 수는 없으며 그럴 목적도 없습니다. 또한, 시각적 편의상 기호 구별을 대폭 간소화했습니다.(예컨대 반례를 들 때 (∃x) 등의 표기는 생략하며, x의 표기도 뜻이 통하면 생략하고,  ⇒와 →, |=를 구별하지 않고 씁니다)


요 아래 이덕하님 글에서 단 덧글 중에서, 저는 이하와 같은 '논증'을 제시했었습니다.

- C : c에 내포된 사실적 주장, 즉, '어떤 방식으로든 후세의 지능을 높이는 것(c')'은 현실적으로 가능하다.
- d : C가 (우생학 맥락에서) 참이기 위해서는 적어도 b가 참이어야 한다.( C → b )
- e(x) : c를 진지하게(즉, 공염불이 아닌 것으로) 믿는 사람(x)이라면, C를 믿어야 한다
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- C1(x) : 만약 x가 c를 진지하게 믿는다면, x는 b도 믿어야 한다.
------------
- C1' : 누군가가 c를 진지하게 믿는다면 b도 믿어야 하므로, c만 있어도 a가 성립한다.
- C1'' : 또한, 행동 유전학의 연구 결과에 의해 b가 보강된다면 적어도 ~b에 의해서 c를 진지하게 믿는 사람을 부정할 수는 없어진다는 점에서 간접적으로 c는 보강된다. 따라서, c를 믿는 사람을 반박할 여지를 좁히는 행동 유전학은 나쁘다.


이에 관해 약간 해명이 필요할 것 같습니다. 위 논증은 대략 두 가지 차원에서 반박할 수 있는데, 하나는 그 글에서 하하하님이 제시하신 것과 같이 C 혹은 d 자체를 의심하는 것입니다. 이런 방식은 어느 정도 효과가 있습니다. 하지만, 이와 같은 접근은 그 주장을 가능하게 만드는 것이 불가능하지 않기 때문에, 근본적인 문제를 안고 있습니다. 

다른 방식은 논증 자체의 타당성을 의심하는 것입니다. 제가 위에서 의도적으로 '사실'과 '누군가의 믿음'을 뒤섞어 놓았기 때문에, 사실만을 가지고 추론하는 데 익숙하신 분에게는 위의 논증 중에서 얼핏 C1(x)이 도출되는 과정이 타당한 것으로 보일지도 모르겠습니다. 하지만 C1(x)까지의 과정을 이 두 종류의 구별을 도입해서 좀 차분히 분석해 보면 결코 타당하지 않다는 점을 알 수 있게 됩니다.

위의 논증에서 d는 사실에 관한 조건문입니다. 그런데, e(x)는 x의 '믿음'에 관한 조건문입니다. 따라서 C1(x)의 도출을 위해서 이 논증에서는 이 둘을 연결하는 암묵적인 전제가 하나 끼워 넣어져 있습니다. 대략 다음과 같은 형식이지요.
* 'x는 p를 믿는다'라는 명제를 'R(x, p)'로 적겠습니다.

- 요청 : 어떤 사실 명제 p, q에 대해 p → q가 참이고 R(x, p)가 참이면, R(x, q)도 참이다. ( [p→q] ∧ R(x, p) → R(x, q) )

그러면, 위 논증은 다음과 같이 되는데, (이하에서는 편의상 '믿는 사람' x를 생략하고 R(x, c) 따위를 그냥 R(c)로 쓰겠습니다)

- C
- C → b
- R(c) → R(C)
∴ R(c) → R(b)

여기서 첫 주장인 'C는 참이다'가 이 형식에서는 잉여적이라는 것을 알 수 있습니다.(이하에서 주장을 보강할 때 이 문제는 다시 다룹니다) 이를 제외하고 나머지 두 주장만 따져 보면, 위의 '요청'이 없이는 성립하지 않음을 알 수 있습니다. 하지만 '요청'은 참일까요? 생각해 보죠. 위의 '요청'의 대우는 ~R(q) → ~[p→q] ∨ ~R(p) 와 같습니다. 이것이 참이라 가정하고 실례를 하나 들어 보지요.

- p : x의 동생이 x의 방 문을 발로 세게 차는 사건이 발생했다. q : x의 동생 발이 아프다.
- x는 동생의 발이 아프다고 믿지 않는다.
- 그렇지만 x는 자신의 동생이 좀 전에 자기 방 문을 발로 세게 찼다고 믿는다.
- 그러므로, 'x의 동생이 x의 방 문을 발로 세게 차면 x의 동생 발이 아프다.' 라는 명제는 거짓이다.

요컨대, 문제는 '요청'에서 사용한 방식이 틀렸다는 것입니다. '요청'에 의하면, 단순히 x의 머릿속에 있는 믿음만 가지고도 사실 간의 관계를 부정할 수 있게 됩니다. 이는 명백한 오류 추리입니다.


그렇지만, 위와 같은 형식을 좀 잘 보강하면 대응하기 훨씬 까다로운 주장을 만들어 낼 수도 있습니다. 이러한 논법에서는 '믿음'을 두 가지 수준으로 구별하는데요, 먼저 제1종 믿음('x는 p에 제1종 믿음을 갖고 있다'라는 명제는 이하 R(x, p)-R(p)로 축약-)은 일반적인 '믿음'으로 생각하면 됩니다. x가 기독교인일 때 'x는 신이 존재함(p)을 믿는다'라는 명제 R(x, p)는 '참'이라는 해석이 가능합니다. 반면, 제2종 믿음('x는 p에 제2종 믿음을 갖고 있다'라는 명제는 이하 S(x, p)-S(p)로 축약-)은 제1종 믿음보다 국소적인 믿음으로, 단지 믿기만 해서는 안 되고, 합리적인 증거와 추론에 근거해서 나름대로의 정당화를 거친 후에 얻어지는 믿음입니다. 이렇게 믿음을 구별하게 되면, c와 같은 당위 명제에는 제1종의 믿음만이 허용된다는 단서를 추가할 수 있습니다.

물론, 제2종 믿음의 '정도'는 사람마다 균일하지 않습니다. 합리적 추론 능력이 약하거나, 증거의 수준 등이 차이가 날 수 있지요. 그럼에도 이 추론이 '합리적'이기 위해서 최소한의 규약은 필요합니다. 이를 다음과 같이 공리 1로 공식화하겠습니다.

- A1 : S(p) ∧ [p→q] → ~S(~q)

이는 '적어도 제2종 믿음에서 내적인 정합성이 결여된 추리나 증거는 받아들이지 않는다'는 규약입니다. 다음으로, 제1종 믿음과 제2종 믿음에서 성립해야 할 기본 원칙들에 관한 두 공리를 제시하겠습니다.

- A2 : R(p ∧ q) ↔ R(p) ∧ R(q)
- A3 : S(p ∧ q) ↔ S(p) ∧ S(q)

여기서 주의해야 할 점은, 믿음의 대상에 해당하는 명제들이 두 명제 이상의 논리곱이거나 논리합일 경우, 논리곱과 논리합이 항상 동시에 보존되지 않는 것은 힘들다는 것입니다. 이는 T7과 T8에서 언급할 '추론 규칙'이 이 둘 중 하나에 의존해 성립한다는 데에서 나옵니다. 저는 이하의 T5를 신뢰하기 위해 (이에 대해서는 밑에서 설명합니다. 덧붙여, T5가 성립해야만 아래에서 다룰 '보다 까다로운 논증'이 성립합니다)  논리곱의 보존을 공리로 택하겠습니다. 또한 논리합의 보존성에는 기본적인 반례가 있습니다.(*) (이전 글에서는 이를 이용해 원 논증을 반박했었는데, 생각해 보니 이것만으로는 쉽게 반박할 수 없는 것 같습니다. 글을 전개하면서 이에 관해 적겠습니다)

다음으로는, 제1종 믿음과 제2종 믿음을 구별하는 재귀의 원칙에 관한 세 공리를 제시하겠습니다.

- A4 : R(p) ↔ R(R(p))
- A5 : R(S(p)) → R(p)
- A6 : S(p) → R(S(p))

이상까지 전개한 바에 따르면, 다음과 같은 세 정리를 곧바로 얻을 수 있습니다.

- T1 : S(p) → R(p) (A5과 A6에서)
- T2 : S(R(p)) → R(p) (T1과 A4에서)
- T3 : [p→q] → [S(p) → ~S(~q)] (A1에서)

그 다음에는, 좀 까다로운 다음 세 정리를 얻겠습니다.

- T4 : [p→q] → ~S(~[p→q]) (A3와 T3에서) 
- T5 : S(p) → p (T4에서)
- T6 : S(~p) → ~S(p) (T5에서)

먼저 T6이 T5에서 따라 나온다는 것은 명백합니다. S(~p) → ~p → ~S(~(~p)) ↔ ~S(p)이니까요. T4와 T5는 좀 명백하지 않아 보입니다. 이것은 별도로 증명하겠습니다. 먼저 T4는 T3의 후건에서, A3을 이용하면,

[S(p) → ~S(~q)]
↔ [~S(p) ∨ ~S(~q)]
↔ ~[S(p) ∧ S(~q)]
↔ ~S(p ∧ ~q)
↔ ~S(~[p→q]).

와 같이 증명됩니다. 또한 T4에서 q를 모순 명제 F로 놓으면,

[p→F] → ~S(~[p→F])
↔ [ [~p ∨ F] → ~S(~[~p ∨ F]) ]
↔ [~p → ~S(p)]
↔ [S(p) → p].

이에 따라 T5를 얻게 됩니다. 이 T5는 A1보다 훨씬 간편하고 쓰기 쉬운 S에 대한 합리성 기준이 되는데, 이것이 성립하기 위해서는 A3이 필요하므로 이 조건은 A3에 대한 나름의 정당화 근거가 되기도 합니다. 다른 조건 없이 A1의 전건을 전개하고 논리학의 기본 정리들과 T5만 사용해 전개하면 A1을 얻을 수 있으므로, T5는 A1보다 강한 조건인데, A3을 받아들일 때 A1와 T5는 동치 조건이 되기 때문입니다.

마지막으로, 보통 '추론 규칙'이라 불리는 다음 두 정리를 보이겠습니다.

- T7 : R(p) ∧ R(p→q) → R(q) (A2에서)
- T8 : S(p) ∧ S(p→q) → S(q) (A3에서)

T7만 보이면 T8은 같은 방식으로 할 수 있습니다. T7의 전건에서,

R(p) ∧ R(p→q)
↔ R(p) ∧ R(~p ∨ q)
↔ R(p ∧ [~p ∨ q])
↔ R([p ∧ ~p] ∨ [p ∧ q])
↔ R(p ∧ q)
↔ R(p) ∧ R(q)
→ R(q).

와 같이 되어 T7을 얻습니다. 수정 전 글에서는 책을 참조하지 않고 기억에 의존해 논증하다 보니 이 두 추론 규칙이 일반적으로 성립하지 않는다고 생각해 버려서 헛소리를 하게 되었습니다;; 직관적으로 생각해 봐도 믿음의 내적인 추론 규칙이 성립한다는 것은 분명한 것인데, 한 줄 한 줄 끊어서 생각하다 보니 이상한 결론을 얻었던 것이지요.. 혹시 이전 글을 보신 분께는 정말 죄송합니다.


어쨌든.. 이제 이상의 표기법을 이용해서 보다 까다로운 방식으로 원래 주장을 공식화하면 다음과 같습니다.

1- R(C) → S(C) (즉, C에 관해 제1종 믿음만 갖고 있어도 제2종 믿음을 가질 충분한 근거가 존재한다)
2- S(C → b) (즉, C → b에 관한 근거가 이에 대한 제2종 믿음을 가질 정도로 충분하다)
3- R(c) → R(C) (즉, 진지하게 c에 대해 제1종 믿음을 갖는다면 C에 대해서도 제1종 믿음을 가져야 한다)
∴ R(c) → S(b).
그런데, S(b) → b. (T5에서)
∴ R(c) → b.

이 논증은 R과 S에 의한 공리들을 가정할 경우 타당합니다. 문제가 되는 것은 S(C → b)에서 S(b)를 유도하는 것이지만, 이 과정은 S(C)가 성립하고, T8의 추론 규칙이 성립한다면 성립할 수밖에 없습니다. 확실히, 위에서 다루었던 사실과 믿음을 구별하지 못하는 허접한 논증보다는 고려할 가치가 있습니다. 결국 이 논증을 부정하기 위해서는 1, 2, 3번 전제 중 하나를 '사실적으로' 부정해야 할 것 같습니다.

하지만 3번을 부정하기는 쉽지 않습니다. 결국 1번이나 2번 전제를 부정해야 할 것 같은데, 이에 관해서는 S의 해석에 의존할 수밖에 없겠습니다. 저는 1번보다 2번을 부정하는 것이 보다 쉬워 보입니다. 제 해석의 요지는, 2번 전제는 사실 S(C → b)가 아니라 기껏해야 R(C → b) 정도로 구성될 수밖에 없고, 그 경우 위에서와 같이 강한 결론을 유도할 수는 없다는 것입니다.

2번 전제가 R(C → b)이면, T7과 3번 전제에서 이 경우의 결론은 기껏해야 R(b)가 될 것입니다. 물론, S(b) → R(b)이므로 이는 S(b)보다는 약하고, R(b)일 때 반드시 b라는 보장이 없으므로 이렇게 되면 원하는 R(c) → b라는 결론을 얻기에는 역부족입니다.

그렇다면 왜 2번 전제를 S(C → b)가 아니라 보다 약한 조건인 R(C → b)로 바꾸어야 하는가에 대한 사실적 정당화가 필요할 겁니다. 이에 대해서는, 예컨대 우생학과 우생학적 처치의 당위에 대한 믿음을 가진 사람이라도, 그 사람은 실제로 유전학을 연구하는 학자 혹은 그에 준하는 지식을 가진 사람일 가능성이 적기 때문에, b를 들어 봤다고 해도 C → b에 대한 자신의 정당화를 갖지는 못할 가능성이 높다고 설명할 수 있습니다. 다시 말해, S(C → b)의 조건을 참이라고 할 수 있는, 즉 (C → b)를 자신에 의해 충분한 정당화에 의존해 믿는 경우는 그에 해당하는 지식을 가지는 경우에 국한되겠지요. 그러므로 다음 두 가지 가능성이 있습니다.

1. 행동 유전학자 혹은 그에 준하는 지식을 가진 사람이 우생학적 테제를 주장할 때는, 위의 논증이 건전할 수 있습니다.
2. 그러나 우생학적 처치의 당위에만 경도되어 별 생각이 없는 경우에는, 위의 논증이 건전하지 않거나 이에서 약한 결론밖에 얻지 못합니다.

그러나 1의 가능성은 매우 낮을 것 같습니다. 이상이 저의 해석입니다.


*
가법성이 일반적으로 성립하지 않음은 다음 예를 통해 짤막하게 예증할 수 있을 것 같습니다:
p를 '신이 존재한다'라는 명제라 할 때, 가법성이 성립한다면,

S(p∨~p) ↔ S(p) ∨ S(~p)

이어야 합니다. 하지만, 유신론이나 무신론 중 어느 쪽으로 논쟁이 결론이 나지 않더라도 일단 p ∨ ~p 자체는 논리적으로 항진이므로 이를 신뢰하는 것은 얼마든지 가능합니다. 따라서 S의 가법성은 일반적으로 성립하지 않습니다. R도 비슷한 예를 들 수 있겠지요.


덧:
위에서 별로 중요한 이야기는 아니기 때문에 소개하지는 않았지만, R과 S의 성질에 관해 다음 다섯 정리도 흥미롭습니다. T9는 재귀 규칙 중 하나이고,(이것과 A5, A6, T2를 통해 p를 핵으로 하고 S와 R의 반복으로 구성된 명제 S(..S..R..(p)..)-맨 앞이 R이어도 관계없음- 에 대해 S(..S..R..(p)..) → R(p)임을 귀납법으로 보일 수 있습니다) T10과 T11은 →의 성질인 반대칭율이 보존됨을 나타내는 것이고, 마지막으로 T12와 T13은 일반적인 추론 규칙 중 하나인 추이율이 보존된다는 것입니다. 여기서 A3과 A4에 의존해 반대칭율과 추이율이 보존된다는 사실은 A3과 A4의 가정에 대한 정당화 근거 중 하나가 될 수 있습니다.

T9 : S(S(p)) → S(p) (T5에서)
T10 : R(p→q) ∧ R(q→p) ↔ R(p↔q) (A2에서)
T11 : S(p→q) ∧ S(q→p) ↔ S(p↔q) (A3에서)
T12 : R(p→q) ∧ R(q→r) → R(p→r) (A2에서)
T13 : S(p→q) ∧ S(q→r) → S(p→r) (A3에서)

T12만 증명해 보겠습니다. T13은 같은 방식으로 할 수 있습니다. T12의 전건에서 출발하여,

R(p→q) ∧ R(q→r)
↔ R([p→q] ∧ [q→r])
↔ R([~p ∨ q] ∧ [~q ∨ r])
↔ R([~p ∧ [~q ∨ r] ] ∨ [ [q ∧ ~q] ∨ [q ∧ r] ])
↔ R([~p ∧ [~q ∨ r] ] ∨ [q ∧ r])
↔ R([~p ∧ ~q] ∨ [~p ∧ r] ∨ [q ∧ r])
↔ R([~p ∧ ~q] ∨ [ [~p ∨ q] ∧ r] ])
↔ R(~[~p→q] ∨ [ [p→q] ∧ r] ])
↔ R([~[~p→q] ∨ [p→q] ] ∧ [~[~p→q] ∨ r])
↔ R(~[~p→q] ∨ [p→q]) ∧ R([~p→q] → r)
→ R([~p→q] → r)
↔ R([p ∨ q] → r)
↔ R([~p ∧ ~q] ∨ r)
↔ R([~p ∨ r] ∧ [~q ∨ r])
↔ R(~p ∨ r) ∧ R(~q ∨ r)
→ R(~p ∨ r)
↔ R(p→r).

다 쓰고 나니 괜히 썼다는 생각이 드는데, 그래도 쓴 게 아까우니(-_-;;) 그냥 놔 두겠습니다.


덧2:
나중에 다시 이 글을 검토해 보니, 너무 단순화에 치중하다가 중요한 걸 놓쳤군요. 본문에선 일반화 규칙을 자명한 것으로 사용하고 있었는데, 이걸 이용한다고 해도 T7, T8, T12 등을 도출하기 위해서는 K 공리가 필요합니다. 결국 너무 논증이 대충대충이 되어 버렸군요.. 어쨌거나 표준 체계를 사용한다고 하면 본문의 논지가 크게 흐트러지는 일은 없습니다만..