glittered with. SexyDolphin

1. 수학적 환원주의 그리고, Equality(=) - (가)

Ref 1 :
http://theacro.com/zbxe/?mid=BulletinBoard2009&search_target=user_id&search_keyword=sexydolphin&document_srl=127509

7. Reductionism ;
    환원주의

7-1 : For the consummation of knowledge it is necessary to examine each and every item which pertains to our design
         in a continuous and un-interrupted process of thought and to include all of these in an adequate and orderly enumeration

지식의 축적을 지향하는데 있어 연속적이며 매끄러운 이론을 구성하는, 동시에 적절히 구조적으로 정리된 한 편의 목록 상의,
모든 개념들을 시험해볼 필요가 있다

7-2 : It is only concerning genuinely simple and absolute matters that we can have certain knowledge and all human knowledge
         consists of this one thing, that we perceive distinctly how these simple natures combine to produce other things

이는 인간이 확실한 지식을 얻을 수 있는, 진실로 간결하며 절대적인 문제를 다루며 이는,
모든 인간 지식이라 함이 이러한 간결한 자연적 성질들이 또 다른 자연적 성질들로 이어질 수 있음을
인식함을 내포하기 위한 필요충분조건이다



2. 수학적 환원주의 그리고, Equality(=) - (나)

현상 A를 경험한 두 명의 수학자가 있다.

          한 명의 수학자는 A=f(a_1, a_2, ,,, ,,, a_n) 의 n개의 a-component 로 환원하여 그들 간의 함수로써 현상 A 를 구조화했고
다른 한 명의 수학자는 A=g(b_1, b_2, ,,, ,,, b_m) 의 m개의 b-component 로 환원하여 그들 간의 함수로써 현상 A를 구조화했다

서로 다른 관점(a, b component) 의 두 관찰자는 현상 A와 함수 f, g 와의 'Equality(=)' 즉,
서로 다른 정체성(identity) 을 통해 동일한 현상 A를 공감/ 평가(estimation, evaluation) 할 수 있게 되었다

만약, 동일한 현상을 e 명의 수학자가 공감/ 평가할수 있게 되었고
수학자의 수 곧, e 만큼의 구조적 지식을 축적했다면 최소한,

첨부.jpg  만큼의 지식 간의 bridge 를 마련할 수 있다

e=1 이면 지식 간의 bridge 는 1
e=2 이면 지식 간의 bridge 는 1+(2+1)=4
e=3 이면 지식 간의 bridge 는 1+(2+1)+(3+2+1)=10
e=4 이면 지식 간의 bridge 는 1+(2+1)+(3+2+1)+(4+3+2+1)=20
...
e=n 이면 지식 간의 bridge 는 e + 2(e-1) + 3(e-2) + ,,, ,,, + n = n(n+1)(n+2)/6

기울기가 '2차' 적으로 증가하는 bridge vs. e 그래프를 얻게 되는데
더 많은 수학자가 동일한 현상에 대해 참여할수록 예측되는 '최소한의 구조적 지식의 갯수, bridge' 가
'폭발적으로 증가' 할 것이다



1번 글에서
모든 인간 지식이라 함이 이러한 간결한 자연적 성질들이 또 다른 자연적 성질들로 이어질 수 있음이
수학적 환원 즉, Equality(=) 철학의 장점 중 장점인 것이다



3. Equality(=) 철학의 응용 (부제 : 벡터의 외적(cross product) 은 왜 필요하게 되었을까?)

Ref 2 : http://library.thinkquest.org/28388/Mechanics/Moment/Moment.htm

시계의 시침에 대한 회전효과를 '모멘트(Moment)' 라 부른다. 이때 시침의 질량중심은 회전축과 일치하지 않는다. 
한편 시침이 그 반대편으로 똑같은 길이만큼 연장되었다 가정하자.

이 시침에 대한 회전효과를 '토크(Torque)' 라 부른다. 이때 이 연장된 시침의 질량중심은 회전축과 일치한다.



이제 모나미 153 볼펜 하나의 다른 한쪽 끝을 왼쪽 손으로 고정시킨 후 오른쪽 검지 손가락 손톱 끝을 이용하여
볼펜의 오른쪽 끝을 살짝 밀어보자. 그리고 하나인 때에 대하여 그 총 길이가 2배가 되도록 볼펜 두 개를 연결하자.
그리고 다른 한쪽 끝에 대한 왼쪽 손의 고정을 제거한 채 오른쪽 검지 손가락 손톱 끝을 이용하여 볼펜의 오른쪽 끝을 살짝 밀어보자.
(단, 볼펜 촉을 조절하는 '딸깍이' 가 천장을 향해야 한다)

전자는 모멘트고 후자가 토크다. 모멘트의 회전축은 볼펜의 다른 한쪽 끝이고 토크의 회전축은 연장된 볼펜의 질량중심인 것이다.



한편, 다른 실험을 통하여 두 회전효과를 정량적으로 분석/ 비교하고자 한다.
(단, 볼펜 하나의 질량은 M, 길이는 L 이라 표기한다)

하나의 모나미 153 볼펜에 오른쪽 검지 손가락 손톱 끝만을 이용하여 볼펜의 오른쪽 끝을 살짝 밀어보자.
이 '토크' 상태에서 볼펜의 다른 한쪽 끝을 왼쪽 손으로 고정시키기 시작하면 자, 무슨 일이 일어나는가? '모멘트' 상태로 전이함이다.
그저 다른 한쪽 끝을 왼쪽 손으로 고정시키기 시작했을 뿐이다.
이 고정 조작이 회전축을 질량중심에서 다른 한쪽 끝으로 옮겨놓은 것이다.

    토크 상태 회전운동에너지 : [1/2 * (1/3 * (1/2 * M) * (1/2 * L)^2) * ()^2] * 2
모멘트 상태 회전운동에너지 : 1/2 * (1/3 * M * L^2) * ω^2                                      --- M, L, w=component 1
(정량적 수식에 대한 설명은 본 글의 논지에 도움이 되지 않으므로 생략한다)

'토크' 상태에서 '모멘트' 상태로 전이한다 할지라도 변하지 않아야 하는 조건이
가한 에너지와 가한 힘임을 고려하면 왼쪽 손으로 고정시키기 시작하면서 각속도(ω) 가 2ω에서 ω로 50% 감소했다.

뭐가 좀 묘하다. 볼펜의 다른 한쪽 끝을 왼쪽 손으로 고정시키기 시작했을 뿐인데 왜 각속도가 절반이나 줄었을까?
분명 회전효과(tendency) 자체는 '똑같아야' 하는데 말이다. --- 회전효과=현상

이 '똑같음' 의 개념을 의식하기 위해 물리학자들은 회전효과(tendency) 를 정량적으로 나타내는 수식을 구성하는 요소들로써
힘 F와 회전축으로부터 작용점 간의 거리 r을 정의했다.
(물론, 상기의 에너지 또한 '똑같음' 의 개념을 의식하기 위한 요소이다.)

이제 이 두 요소를 어떻게 알맞게 조합하여 그 '똑같음' 을 표현할 수 있을까? 곱하면 된다. --- 힘, 거리=component 2



'토크' 상태에서 '모멘트' 상태로 전이한다 할지라도 '가한 힘' 이란 변하지 않았으므로 볼펜의 길이 역시, 변하지 않음을 고려하면
두 요소를 곱한 값이 회전효과의 동일성을 표현해줄 수 있는 것이다.

토크 상태 곱 : 2 * (F * r/2)
모멘트 상태 곱 : F * r
(단, (F * r/2) 항에 2를 곱한 것은 토크란 두 개의 모멘트 상태가 공존함으로 치환할 수 있음을 설명한다. --- 지식의 폭발
즉, 모멘트 상태와 같이 고정점 곧, pivot 은 토크 상태에서의 2개 중 하나의 힘으로써 그 역할을 함이다)



그러나 2% 부족하다. 시계반대방향으로 회전할 때와 시계방향으로 회전할 때는 아무리 가한 힘과 볼펜 길이의 곱이 같다 할지라도
회전효과는 '방향성(orientation)' 의 관점에서 다르다. 이 '방향성' 까지 고려할 수 있으려면
시계반대방향 회전과 시계방향 회전 사이의 '차이점' 을 표현하는 '요소' 가 필요하다. 이 '다름' 의 개념을 의식하기 위해 역시,
물리학자들은 벡터(vector) 의 외적(cross product) 를 정의했다.

시계반대방향 회전이든 시계방향 회전이든 볼펜 길이 L 벡터는 그 크기와 방향이 동일하다. 그러나
가한 힘 F 벡터는 그 크기는 같되 방향이 정반대다.

이제 이 '다름' 이 반영되도록 힘 F 벡터와 볼펜 길이 L 벡터 사이의 '새로운 연산' 을 창조하면 된다.
그것이 바로 벡터의 외적이다.



p.s. : 수학철학의 장점은 '기능론, 갈등론' 의 논쟁 영역에서 자유로울 수 있음입니다
          Equality(=) 만 있으면 지식의 폭발은 시간문제니까요

          다음번 글에서 '왜 한국인들은 한국교육에 만족하지 못하는가' 를 다루려 합니다
          참고할만한 ref 가 있으면 댓글로 부탁드립니다 :D