베이지언 정리(Bayes Theorom or Bayesian Probability)란 확률공식인데 이 공식을 사고에 적용하면 이성적 사고를 하는 데 도움이 됩니다. 예를 들어, 다음과 같은 사건 샘플이 있다고 합시다. (출처 : http://musicetc.wikidot.com/bayes-theorem)


마약테스트 

한 고등학교에서 학생들에게 마약테스트를 실시하였다. 이때 사용한 마약 테스트는 마약 성분에 대해 99%의 민감도(sensitivity)와 98%의 특이도(specificity)를 가지고 있다. 즉 마약을 사용하는 사람에게 99%의 확률로 양성 판정을 내리고, 마약을 사용하지 않는 사람에게는 98%의 확률로 음성 판정을 내린다. 신뢰할 만한 조사 결과에 따르면 고등학생의 0.5% 가 마약을 사용하는 것으로 나타났다.

3학년 김대마 학생이 테스트결과 양성으로 판정 받았을 때 실제로 이 학생이 마약을 하고있을 확률은 얼마나 될까?

여기까지 읽었을 때 저의 직감은 김대마학생이 마약을 하고 있을 확률이 거의 90퍼센트일 것이라고 생각했는데 베이의 확률공식을 적용한 결과를 보고 많이 놀랐어요. 정답은 다음과 같이 도출돼요.

D 를 마약을 사용하는 학생, N 을 마약을 사용하지 않는 학생, + 를 양성판정 이라고 하면

  • P(D)는 테스트 전에 김대마 학생이 마약을 사용하고있다고 생각했던 확률로 값은 0.005 이다, 왜냐하면 0.5% 의 고등학생이 마약을 사용하기때문에.
  • P(N)는 김대마 학생이 마약을 사용하지 않는다고 생각했던 확률로 값은 1-P(D) = 0.995 이다.
  • P(+|D)는 마약을 하는 학생이 양성판정을 받을 확률 즉 민감도 이다. 값은 0.99 (99%)
  • P(+|N)는 마약을 하지 않는 학생이 양성 판정을 받을 확률로, 즉 특이도의 오류 확률이다. 값은 1-0.98(98%) = 0.02(2%)

김대마 학생은 양성판정을 받았기때문에 실제 김대마 학생이 마약을 하고 있을 확률은 P(D|+) 이 된다.

베이즈의 정리 (Bayes' theorem) 를 이용하면

(8)
P(D|+)=P(+|D)P(D)P(+)=P(+|D)P(D)P(+|D)P(D)+P(+|N)P(N)=0.99×0.0050.99×0.005+0.02×0.9950.1992

김대마학생이 실제 마약을 하고있을 확률은 20%가 채 되지 않는다.

이게 정확한 수학적 확률결과임이 분명한 걸 전제로 하면 제가 김대마학생이라는 이에 대해 대단한 편견을 가지고 있었다는 것을 발견하게 돼요. 이렇게 인간의 인식은 자신이 모르는 사이에 바이어스에 사로잡혀 있는 경우가 많은 것 같아요. 베이지언 이론을 인간의 사고에 적용시키면 다음과 같이 정의가 돼요.  


베이지언 정리 : “한 대상에 대해 가지고 있던 초기의 믿음을 객관적이고도 새로운 정보로 업데이트할 때, 보다 개선된 새로운 믿음을 얻을 수 있다.”(출처 : http://www.kyosu.net/news/articleView.html?idxno=27680)

 제가 김대마학생에 대해 가진 편견의 강도가 90퍼센트였지만 수학적인 증명을 목격하고 이 새로운 정보를 수용한 뒤 나의 편견값을 대체하도록 허락하면 저의 편견도 줄어들 수 있어요. 만약에 김대마 학생이 마약하는 아이일 수 있다는 또 다른 정보를 제공하는 정황이 생기면 베이의 이론을 적용한 수치는 올라갈 거예요. 이렇게 정보를 축적함으로써 나의 편견강도가 낮아지고 대신 객관적으로 신뢰성이 있고 내가 확신할 수 있는 수치도 높아지는 것이죠 김대마 학생이 마약을 하는 정황이 더 많이 제공되면 제공될수록 그리고 제가 그만큼 제 정보를 정직하게 업데이트하면 할수록 제가 '김대마 학생은 마약을 하는 학생일 가능성이 크구나'라고 확신하는 저의 자신감이 더욱 공명정대해집니다. 


다른 좋은 예도 있어요. 출처는 http://www.youtube.com/watch?v=GC-l345c1FY

동영상의 여성이 자신의 사고에 베이지언 이론을 적용함으로써 어떻게 생각을 바꾸게 되었나를 설명하는데요. 이런 예를 들어요. 평소에 나는 운전을 잘 한다고 확신하는 사람이라고 합시다. 그런데 사고가 발생했어요. 평소의 나의 확신 '나는 운전을 잘 한다'와 방금 일어난 자동차사고는 일관성이 떨어져요. 이런 사고와 현상의 괴리를 내가 접하게 되었을 때 베이지언 이론을 적용하지 않고도 그 괴리를 깨는 방법은 간단합니다. '상대방이 잘못했다'라고 생각해버리는 것이죠. 그치만 베이지언 이론을 적용하면 무사고였을 때와 사고가 발생하고 난 후의 나의 운전실력을 비교했을 때 사고가 발생한 후의 경우에 운전실력에 대한 확률적 수치가 낮다는 것은 명백합니다. 베이지언사고를 하는 사람이 사고난 일어난 후 정보업데이트를 통해 가지는 생각은 '내가 운전을 잘 한다'라는 확신은 확률적으로 덜 사실일 수 있다는 것을 받아들이는 것이에요.  


베이지언정리를 우리 사고에 적용하는 걸 생활화하다 보면 소위 마녀사냥이라는 것에 덜 관여하게 되고 신중해지지 않을까란 기대를 해봅니다. 마녀사냥과는 다른 한 가지는.. 현재 아크로에서 징계건의가 또 갑자기 올라왔는데 새로 오신 분들은 정보업데이트가 전혀 되지 않아 판단이 어렵겠지만 아크로에 오래 계신 분들은 그동안의 정보축적으로 징계가 얼마나 타당한지 아닌지 잘 아실 수 있죠.  (귀찮은 건 그 증거를 일일이 찾아서 '그 두드러진 경향'을 조목조목 따져야 하는데 운영진이 고생을 많이..). 베이지언식 사고가 절대로 안되는 분들은 공론장에서 독입니다. 이런 분들 중에는 아예 대놓고 편협한 사람이 있는가 하면 경우에 따라 달.라.지.는. 침소봉대를 아무리 지적해도 모르거나 모르는 척 하는 사람이 있기도 하고 뭐 다양한 것 같습니다. 그치만 원래 인간의 두뇌는 베이지언 이론을 흡수하는 엔진역할을 한다고 합니다. 저도 그렇고 노력하면 바뀔 수 있다는...

"Somewhere unwritten poems wait, like lonely lakes not seen by anyone.”